树状数组彻底入门

转载于https://www.cnblogs.com/hsd-/p/6139376.html

int lowbit(int t)
{
return t&(-t);
}
void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
tree[i]+=y;
}
int getsum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
ans+=tree[i];
return ans;
}

     这篇笔记 会详细的讲解，使得队员们对树状数组彻底入门  而不是懵懵懂懂。以上先给出 最常见的，三个函数。(单点更新，区间查询)     网上的解释以及分析有很多，这里是我的一点总结和体会归纳一下，并且在周三(2016.12.07)的讲座之后会发布在团队笔记中，     请队员们细细阅读，并且补题。     下面开始*************************************************分割线树状数组  重点是在树状的数组大家都知道二叉树吧叶子结点代表A数组A[1]~A[8]

  .......现在变形一下

 现在定义每一列的顶端结点C[]数组  如下图 

 C[i]代表 子树的叶子结点的权值之和// 这里以求和举例如图可以知道C[1]=A[1];C[2]=A[1]+A[2];C[3]=A[3];
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];下面观察如下图

将C[]数组的结点序号转化为二进制1=(001)      C[1]=A[1];2=(010)      C[2]=A[1]+A[2];3=(011)      C[3]=A[3];4=(100)      C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];5=(101)      C[5]=A[5];6=(110)      C[6]=A[5]+A[6];7=(111)      C[7]=A[7];8=(1000)    C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];对照式子可以发现  C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i]; （k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）例如i=8时，k=3;可以自行带入验证;现在引入lowbit(x) lowbit(x) 其实就是取出x的最低位1  换言之  lowbit(x)=2^k  k的含义与上面相同 理解一下下面说代码

int lowbit(int t)
{
return t&(-t);
}
//-t 代表t的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
//例如 :
// t=6（0110） 此时 k=1
//-t=-6=(1001+1)=(1010)
// t&(-t)=(0010)=2=2^1

C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i]; *************************************************分割线区间查询ok 下面利用C[i]数组，求A数组中前i项的和 举个例子 i=7;sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ;   前i项和C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];   C[6]=A[5]+A[6];   C[7]=A[7];可以推出:   sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)]; 再举个例子 i=5sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ;   前i项和C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];   C[5]=A[5];可以推出:   sum[5]=C[4]+C[5];序号写为二进制: sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)]; 细细观察二进制 树状数组追其根本就是二进制的应用结合代码

int getsum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
ans+=C[i];
return ans；
}

对于i=7 进行演示                                   7(111)          ans+=C[7]lowbit(7)=001  7-lowbit(7)=6(110)    ans+=C[6]lowbit(6)=010  6-lowbit(6)=4(100)    ans+=C[4]lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)    对于i=5 进行演示                                   5(101)           ans+=C[5]lowbit(5)=001  5-lowbit(5)=4(100)    ans+=C[4]lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)    *************************************************分割线
单点更新 当我们修改A[]数组中的某一个值时  应当如何更新C[]数组呢？回想一下 区间查询的过程，再看一下上文中列出的图 结合代码分析

void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
tree[i]+=y;
}
//可以发现 更新过程是查询过程的逆过程
//由叶子结点向上更新C[]数组

如图： 当更新A[1]时  需要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8]                     C[1],   C[2],    C[4],     C[8]写为二进制  C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]                                      1(001)        C[1]+=A[1]lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010)     C[2]+=A[1]lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100)     C[4]+=A[1]lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000)   C[8]+=A[1]
 *************************************************分割线先这样 讲解题目:http://poj.org/problem?id=2299   poj 2299 
http://codeforces.com/contest/703/problem/D   cf 703D