利用积性函数的优化(线性时间：筛素数、求1~n的欧拉函数、约数个数)

这个文章主要介绍了3算法

1线性时间筛素数

2线性时间求前n个数的欧拉函数值

3线性时间求前n个数的约数个数

 

一、 首先介绍下积性函数。

 

下面是wiki的条目：

在非数论的领域，积性函数指有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数。

在数论中的积性函数。对于正整数n的一个算术函数f(n)，当中f(1)=1且当a,b互质，f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。

若某算术函数f(n)符合f(1)=1，且就算a,b不互质，f(ab)=f(a)f(b)，称它为完全积性的。

例子

φ(n) －欧拉φ函数，计算与n互质的正整数之数目

μ(n) －默比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目

gcd(n,k) －最大公因子，当k固定的情况

d(n) －n的正因子数目

σ(n) －n的所有正因子之和

σk(n): 因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。在特例中有：

σ0(n) = d(n) 及

σ1(n) = σ(n)

1(n) －不变的函数，定义为 1(n)=1 （完全积性）

Id(n) －单位函数，定义为 Id(n)=n （完全积性）

Idk(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = nk （完全积性）

Id0(n) = 1(n) 及

Id1(n) = Id(n)

ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若n > 1，ε(n)=0。有时称为“对于狄利克雷回旋的乘法单位”（完全积性）

(n/p) －勒让德符号，p是固定质数（完全积性）

λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目

γ(n)，定义为γ(n)=(-1)ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目

所有狄利克雷特性均是完全积性的

二、再介绍下线性筛素数方法

bool noprime[MAX];
vector  prime;
void Prime(int n){
for (int i = 2; i <= n; i ++){
if (!noprime[i]){
prime.push_back(i);
}
for (int j = 0; j < prime.size() && prime[j] * i <= n; j ++){
noprime[prime[j]*i] = 1;
if (i % prime[j] == 0)  break;		//每个数只被他自身最小的素因子筛去
}
}
}

利用了每个合数必有一个最小素因子。

每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次。所以为线性时间。

代码中体现在：

if(i%pr[j]==0)break;

pr数组中的素数是递增的,当i能整除pr[j]，那么i*pr[j+1]这个合数肯定被pr[j]乘以某个数筛掉。

因为i中含有pr[j],pr[j]比pr[j+1]小。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。

在满足i%pr[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,pr[j]必定是pr[j]*i的最小因子。

三、结合线性筛素数算法的优化算法

基于这个线性筛素数算法,我们可以很容易地得到某个数的最小素因子。

因为当i%pr[j]!=0的时候,最小素因子pr[j]与i互质,满足积性函数的条件,可以直接得到f(i*pr[j])=f(i)*f(pr[j]).

不过当i%pr[j]==0时我们必须根据该积性函数本身的特性进行计算.或者在筛的同时保存并递推些附加信息.总之要O(1)求得f(i*pr[j])及完成递推附加信息.

下面的两个例子是欧拉函数phi和约数个数.这两个是最常用和最有优化价值的。

利用上面的性质都可以很容易地把前n个用O(n)时间推出来.

当然，利用这个性质还可以对其他积性函数进行优化，这里仅介绍两个常用和有优化价值的。

1)欧拉函数(phi)

传统的算法:

对于某素数p且n|p(n能整除p)

if( (n/p) % i == 0 ) phi(n)=phi(n/p)*i;

else phi(n)=phi(n/p)*(i-1);

这个传统算法的性质正好用在筛素数算法中.

p为n的最小素因子,当n/p包含该因子p,则phi(n)=phi(n/p)*i;否则phi(n)=phi(n/p)*(i-1);

p即pr[j], n/p即i, n即i*pr[j]了.

int phi[MAX];
bool noprime[MAX];
vector  prime;
void Euler(int n){
phi[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i ++){
if (!noprime[i]){
prime.push_back(i);
phi[i] = i - 1;
}
for (int j = 0; j < prime.size() && prime[j] * i <= n; j ++){
noprime[prime[j]*i] = 1;
if (i % prime[j] == 0){
phi[prime[j]*i] = phi[i] * prime[j];
}
else{
phi[prime[j]*i] = phi[i] * phi[prime[j]];
}
}
}
}

2)约数个数(divnum)

约数不能像phi那么自然,但还是有不错的方法.

约数个数有个性质

divnum(n)=(e1+1)*(e2+1)...(ei表示n的第i个质因数的个数.)

传统方法就是对每个数分解质因数,获得各因数个数再用上式.

开一个空间e[i]表示最小素因子的次数

这次说直接点:

筛到i 第j个素数

对于divnum

如果i|pr[j] 那么 divnum[i*pr[j]]=divsum[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2)         //最小素因子次数加1

否则 divnum[i*pr[j]]=divnum[i]*divnum[pr[j]]          //满足积性函数条件

对于e

如果i|pr[j]  e[i*pr[j]]=e[i]+1;       //最小素因子次数加1

否则 e[i*pr[j]]=1; //pr[j]为1次