8.动态规划（1）——字符串的编辑距离

　　动态规划的算法题往往都是各大公司笔试题的常客。在不少算法类的微信公众号中，关于“动态规划”的文章屡见不鲜，都在试图用最浅显易懂的文字来描述讲解动态规划，甚至有的用漫画来解释，认真读每一篇公众号推送的文章实际上都能读得懂，都能对动态规划有一个大概了解。

　　什么是动态规划？通俗地理解来说，一个问题的解决办法一看就知道（穷举），但不能一个一个数啊，你得找到最优的解决办法，换句话说题目中就会出现类似“最多”、“最少”，“一共有多少种”等提法，这些题理论上都能使用动态规划的思想来求解。动态规划与分治方法类似，都是通过组合子问题的解来求解原问题，但它对每个子问题只求解一次，将其保存在表格中，无需重新计算，通常用于求解最优化问题——《算法导论》。

　　编辑距离（Edit Distance），在本文指的是Levenshtein距离，也就是字符串S1通过插入、修改、删除三种操作最少能变换成字符串S2的次数。例如：S1 = abc，S2 = abf，编辑距离d = 1（只需将c修改为f）。在本文中将利用动态规划的算法思想对字符串的编辑距离求解。

　　定义：S1、S2表示两个字符串，S1(i)表示S1的第一个字符，d[i, j]表示S1的第i个前缀到S2的第j个前缀（例如:S1 = ”abc”,S2 = ”def”,求解S1到S2的编辑距离为d[3, 3]）。

　　若S1 = ”abc”, S2 = ”dec”，此时它们的编辑距离为d[3, 3] = 2，观察两个字符串的最后一个字符是相同的，也就是说S1(3) = S2(3)不需要做任何变换，故S1 = ”abc”, S2 = ”dec” <= > S1’ = ”ab”, S2’ = ”de”，即当S1[i] = S[j]时，d[i, j] = d[i-1,j -1]。得到公式：d[i, j] = d[i - 1, j - 1] (S1[i] = S2[j])

　　上面一条得出了当S1[i] = S2[j]的计算公式，显然还有另一种情况就是S1[i] ≠ S2[j]，若S1 = ”abc”, S2 = ”def”。S1变换到S2的过程可以“修改”，但还可以通过“插入”、“删除”使得S1变换为S2。

　　　　1)在S1字符串末位插入字符“f”，此时S1 = ”abcf”，S2 = ”def”,此时即S1[i] = S2[j]的情况，S1变换为S2的编辑距离为d[4, 3] = d[3, 2]。所以得出d[i, j]=d[i, j - 1] + 1。（+1是因为S1新增了”f”）

　　　　2)在S2字符串末位插入字符“c”，此时S1 = ”abc”，S2 = ”defc”，此时即S1[i] = S[j]的情况，S1变换为S2的编辑距离为d[3, 4] = d[2, 3]。所以得出d[i, j]=d[i - 1, j] + 1，实际上这是对S1做了删除。（+1是因为S2新增了”c”）

　　　　3)将S1字符串末位字符修改为”f”，此时S1 = ”abf”，S2 = ”def”，此时即S1[i] = S[j]的情况，S1变换为S2的编辑距离为d[3, 3] = d[2, 2]。所以得出d[i, j] = d[i – 1, j - 1] + 1。（+1是因为S1修改了“c”）

　　综上，得出递推公式：



[b]=>[/b]



　　不妨用表格表示出动态规划对S1=”abc”，S2=“def”的求解过程。



　　可以看出红色方块即是最终所求的编辑距离，整个求解过程就是填满这个表——二维数组。下面是Java、Python分别对字符串编辑距离的动态规划求解。

　　Java

package com.algorithm.dynamicprogramming;

/**
* 动态规划——字符串的编辑距离
* s1 = "abc", s2 = "def"
* 计算公式：
*          | 0                                           i = 0, j = 0
*          | j                                           i = 0, j > 0
* d[i,j] = | i                                           i > 0, j = 0
*          | min(d[i,j-1]+1, d[i-1,j]+1, d[i-1,j-1])    s1(i) = s2(j)
*          | min(d[i,j-1]+1, d[i-1,j]+1, d[i-1,j-1]+1)  s1(i) ≠ s2(j)
* 定义二维数组[4][4]：
*      d e f            d e f
*   |x|x|x|x|        |0|1|2|3|
* a |x|x|x|x|  =>  a |1|1|2|3|  => 编辑距离d = [3][3] = 3
* b |x|x|x|x|      b |2|2|2|3|
* c |x|x|x|x|      c |3|3|3|3|
*
* Created by yulinfeng on 6/29/17.
*/
public class Levenshtein {

public static void main(String[] args) {
String s1 = "abc";
String s2 = "def";
int editDistance = levenshtein(s1, s2);
System.out.println("s1=" + s1 + "与s2=" + s2 + "的编辑距离为：" + editDistance);
}

/**
* 编辑距离求解
* @param s1 字符串s1
* @param s2 字符串s2
* @return 编辑距离
*/
private static int levenshtein(String s1, String s2) {
int i = 0;  //s1字符串中的字符下标
int j = 0;  //s2字符串中的字符下标
char s1i = 0;   //s1字符串第i个字符
char s2j = 0;   //s2字符串第j个字符
int m = s1.length();    //s1字符串长度
int n = s2.length();    //s2字符串长度
if (m == 0) {   //s1字符串长度为0，此时的编辑距离就是s2字符串长度
return n;
}
if (n == 0) {
return m;   //s2字符串长度为0，此时的编辑距离就是s1字符串长度
}
int[][] solutionMatrix = new int[m + 1][n + 1];     //求解矩阵
/**
*      d e f
*   |0|x|x|x|
* a |1|x|x|x|
* b |2|x|x|x|
* c |3|x|x|x|
*/
for (i = 0; i < m + 1; i++) {
solutionMatrix[i][0] = i;
}
/**
*      d e f
*   |0|1|2|3|
* a |x|x|x|x|
* b |x|x|x|x|
* c |x|x|x|x|
*/
for (j = 0; j < n + 1; j++) {
solutionMatrix[0][j] = j;
}
/**
* 上面两个操作后，求解矩阵变为
*      d e f
*   |0|1|2|3|
* a |1|x|x|x|
* b |2|x|x|x|
* c |3|x|x|x|
* 接下来就是填充剩余表格
*/
for (i = 1; i < m + 1; i++) {   //i = 1,j = 1, 2, 3，以行开始填充
s1i = s1.charAt(i - 1);
for (j = 1; j < n + 1; j++) {
s2j = s2.charAt(j - 1);
int flag = (s1i == s2j) ? 0 : 1;    //根据公式，如果s1[i] = s2[j]，则d[i,j]=d[i-1,j-1]，如果s1[i] ≠ s2[j]，则其中一个公式为d[i,j]=d[i-1,j-1]+1
solutionMatrix[i][j] = min(solutionMatrix[i][j-1] + 1, solutionMatrix[i-1][j] + 1, solutionMatrix[i-1][j-1] + flag);
}
}
return solutionMatrix[m]
;
}

/**
* 根据公式求解编辑距离
* @param insert s1插入操作
* @param delete s1删除操作
* @param edit s1修改操作
* @return 编辑距离
*/
private static int min(int insert, int delete, int edit) {
int tmp = insert < delete ? insert : delete;
return tmp < edit ? tmp : edit;
}
}

　　Python3

'''
动态规划——字符串的编辑距离
s1 = "abc", s2 = "def"
计算公式：
| 0                                           i = 0, j = 0
| j                                           i = 0, j > 0
d[i,j] = | i                                           i > 0, j = 0
| min(d[i,j-1]+1, d[i-1,j]+1, d[i-1,j-1])    s1(i) = s2(j)
| min(d[i,j-1]+1, d[i-1,j]+1, d[i-1,j-1]+1)  s1(i) ≠ s2(j)
定义二维数组[4][4]：
d e f            d e f
|x|x|x|x|        |0|1|2|3|
a |x|x|x|x|  =>  a |1|1|2|3|  => 编辑距离d = [4][4] = 3
b |x|x|x|x|      b |2|2|2|3|
c |x|x|x|x|      c |3|3|3|3|
'''
def levenshtein(s1, s2):
i = 0   #s1字符串中的字符下标
j = 0   #s2字符串中的字符下标
s1i = ""    #s1字符串第i个字符
s2j = ""    #s2字符串第j个字符
m = len(s1) #s1字符串长度
n = len(s2) #s2字符串长度
if m == 0:
return n    #s1字符串长度为0，此时的编辑距离就是s2字符串长度
if n == 0:
return m    #s2字符串长度为0，此时的编辑距离就是s1字符串长度
solutionMatrix = [[0 for col in range(n + 1)] for row in range(m + 1)]  #长为m+1，宽为n+1的矩阵
'''
d e f
|0|x|x|x|
a |1|x|x|x|
b |2|x|x|x|
c |3|x|x|x|
'''
for i in range(m + 1):
solutionMatrix[i][0] = i
'''
d e f
|0|1|2|3|
a |x|x|x|x|
b |x|x|x|x|
c |x|x|x|x|

'''
for j in range(n + 1):
solutionMatrix[0][j] = j
'''
上面两个操作后，求解矩阵变为
d e f
|0|1|2|3|
a |1|x|x|x|
b |2|x|x|x|
c |3|x|x|x|
接下来就是填充剩余表格
'''
for x in range(1, m + 1):
s1i = s1[x - 1]
for y in range(1, n + 1):
s2j = s2[y - 1]
flag = 0 if s1i == s2j  else 1
solutionMatrix[x][y] = min(solutionMatrix[x][y-1] + 1, solutionMatrix[x-1][y] + 1, solutionMatrix[x-1][y-1] + flag)

return solutionMatrix[m]

def min(insert, delete, edit):
tmp = insert if insert < delete else delete
return tmp if tmp < edit else edit

s1 = "abc"
s2 = "def"
distance = levenshtein(s1, s2)
print(distance)