关于素数筛法的一点讨论
2017-06-28 19:45
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前言
在数论领域,解决问题时经常会有得到素数的需求如何快速得到一定范围内的所有素数,就成了人们一直追求的问题
这里列举一些素数筛法,也许会有帮助
埃氏筛法(Sieve of Eratosthenes)
笔者在最早接触数论时,就学到的算法思路比较简单:
对于每个素数,都枚举其倍数打上标记
那么没打过标记的就都是素数了
示例程序:
for (int i=2;i<=n;i++) if (!vis[i]){ for (int j=i+i;j<=n;j+=i) vis[j]=1; p[++p[0]]=i; }
可以证明,时间复杂度为O(nloglogn)
欧拉筛(线性筛)
上面的方法虽然简单,但是效率略低这里实现一种更为高效的筛法:
for (int i=2;i<=n;i++){ if (!vis[i]) p[++p[0]]=i; for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){ vis[i*p[j]]=1; if (i%p[j]==0) break; } }
这看起来一点也不线性,别急,且看分析:
下面证明【每个合数被且仅被标记过一次】
只要此命题成立,就能同时说明 算法的正确性 与 时间复杂度的线性
设当前数字为 i=pk11×pk22……pknn(p1≤p2≤……≤pn)
则通过i标记的数为 pk1+11×pk22……pknn或p×pk11×pk22……pknn
(可以通过反证法得到 p≤p1)
把思维转换一下,设合数 j=pk11×pk22……pknn
那么j只可能通过 pk1−11×pk22……pknn这个数被标记,而且这个数一定存在
那么就可以说明【每个合数被且仅被标记过一次】了
综上所述,时间复杂度O(n)
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