可持久化Treap(fhq Treap，非旋转式Treap)学习(未完待续)

简介：
Treap，一种表现优异的BST
优势：
其较于AVL、红黑树实现简单，浅显易懂
较于Splay常数小，通常用于树套BST表现远远优于Splay
或许有人想说SBT，SBT我没有实现过，据说比较快
但是SBT、Splay以及旋转版Treap等BST都不可以比较方便地实现‘可持久化操作

Treap=Tree+Heap
Treap是一颗同时拥有二叉搜索树和堆性质的一颗二叉树
Treap有两个关键字，在这里定义为：
1.key，满足二叉搜索树性质，即中序遍历按照key值有序
2.fix，满足堆性质，即对于任何一颗以x为根的子树，x的fix值为该子树的最值，方便后文叙述，定义为最小值
为了满足期望，fix值是一个随机的权值，用来保证树高期望为logn
剩下的key值则是用来维护我们想要维护的一个权值，此为一个二叉搜索树的基本要素

支持操作：
基本操作：
1.Build【构造Treap】【O(n)】
2.Merge【合并】【O(logn)】
3.Split【拆分】【O(logn)】
4.Newnode【新建节点】【O(1)】
可支持操作：
1.Insert【Newnode+Merge】【O(logn)】
2.Delete【Split+Split+Merge】【O(logn)】
3.Find_kth【Split+Split】【O(logn)】
4.Query【Split+Split】【O(logn)】
5.Cover【Split+Split+Merge】【O(logn)】
and more....

先说建树，Treap属于笛卡尔树，所以建树方式同笛卡尔树
用栈维护一个fix值递增的序列即可。
代码

int build(int *data,int n)
{
int x,last=0;static int sta[maxn],top;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
x=new_node(data[i]),last=0;
while(top&&fix[sta[top]]>fix[x]) update(sta[top]),last=sta[top],sta[top--]=0;
if(top) ch[sta[top]][1]=x;
ch[x][0]=last;sta[++top]=x;
}
while(top) update(sta[top--]);
return sta[1];
}

只需要两个基础操作，就可以达到splay的所有功能

1： split

将Treap按照权值或排名分裂为两棵Treap 我只写了按权值分裂

对于我们遍历到每一个点，假如它的权值小于k，那么它的所有左子树，都要分到左边的树里，然后遍历它的右儿子。假如大于k，把它的所有右子树分到右边的树里，遍历左儿子。

因为它的最多操作次数就是一直分到底，效率就是O(logn)。

void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
if(!now) x=y=0;
else
{
if(val[now]<=k) x=now,split(ch[now][1],k,ch[now][1],y);
else y=now,split(ch[now][0],k,x,ch[now][0]);
update(now);
}
}

2： merge

这个就是把两个Treap合成一个，保证第一个的权值小于第二个。

因为第一个Treap的权值都比较小，我们比较一下它的fix(附加权值)，假如第一个的fix小，我们就可以直接保留它的所有左子树，接着把第一个Treap变成它的右儿子。反之，我们可以保留第二棵的所有右子树，指针指向左儿子。

你可以把这个过程形象的理解为在第一个Treap的左子树上插入第二个树，也可以理解为在第二个树的左子树上插入第一棵树。因为第一棵树都满足小于第二个树，所以就变成了比较fix来确定树的形态。

也就是说，我们其实是遍历了第一个trep的根->最大节点，第二个Treap的根->最小节点，也就是O(logn)

int merge(int A,int B)
{
if(!A||!B) return  A+B;
if(fix[A]<fix){ch[A][1]=merge(ch[A][1],B); update(A); return A;}
else {ch[B][0]=merge(A,ch[B][0]); update(B); return B;}
}

下面我们就可以通过这两个基本的东西实现各种各样的操作了。

[b][b]一：基本操作[/b]

insertinsert

插入一个权值为v的点，把树按照v的权值split成两个，再按照顺序merge回去。

deldel

删除权值为v的点，把树按照v分成两个a,b,再把a按照v-1分成c,d。把c的两个子儿子merge起来，再merge(merge(c,d),b)

(因为把c的两个儿子merge起来之后，如果权值为v的节点有一个，就已经把他删除了,因为merge后c=0;若有多个就删除了一个)

precursorprecursor

找前驱的话把root按v-1 split成x,y，在x里面找最大值

successorsuccessor

找后继的话把root按v split成x,y，在y里找最小值

rankrank

把root按v-1 split成x,y，排名是x的siz

代码:https://www.luogu.org/problem/show?pid=3369 普通平衡树

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<cstdlib>

#define maxn 500001

using namespace std;
int size[maxn],ch[maxn][2],fix[maxn],val[maxn];
int T,cnt,n,m,x,y,z,p,a,root,com;

inline int read()
{
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}

inline void update(int x)
{
size[x]=1+size[ch[x][0]]+size[ch[x][1]];
}
inline int new_node(int x)
{
size[++cnt]=1;
val[cnt]=x;
fix[cnt]=rand();
return cnt;
}

int merge(int A,int B)
{
if(!A||!B) return  A+B;
if(fix[A]<fix){ch[A][1]=merge(ch[A][1],B); update(A); return A;}
else {ch[B][0]=merge(A,ch[B][0]); update(B); return B;}
}

void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
if(!now) x=y=0;
else
{
if(val[now]<=k) x=now,split(ch[now][1],k,ch[now][1],y);
else y=now,split(ch[now][0],k,x,ch[now][0]);
update(now);
}
}

int kth(int now,int k)
{
while(1)
{
if(k<=size[ch[now][0]]) now=ch[now][0];
else if(k==size[ch[now][0]]+1) return now;
else k-=size[ch[now][0]]+1,now=ch[now][1];
}
}

int main()
{
srand((unsigned)time(NULL));
T=read();
while(T--)
{
p=read();a=read();
if(p==1)
{
split(root,a,x,y);
root=merge(merge(x,new_node(a)),y);
}
else if(p==2)
{
split(root,a,x,z);
split(x,a-1,x,y);
y=merge(ch[y][0],ch[y][1]);
root=merge(merge(x,y),z);
}
else if(p==3)
{
split(root,a-1,x,y);
printf("%d\n",size[x]+1);
root=merge(x,y);
}
else if(p==4) printf("%d\n",val[kth(root,a)]);
else if(p==5)
{
split(root,a-1,x,y);
printf("%d\n",val[kth(x,size[x])]);
root=merge(x,y);
}
else
{
split(root,a,x,y);
printf("%d\n",val[kth(y,1)]);
root=merge(x,y);
}
}
return 0;
}

[b][b]二：区间操作[/b]

区间提取

分为两次split操作 第一次split(root,pos-1,x1,x2);第二次split(x2,len,y1,y2) y1就是提取出的区间 注意split是按照编号split而不是权值

因此就可以进行一系列的区间操作，如区间改值，区间删除，区间插入等

bzoj1500 维修数列 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1500

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>

#define maxn 500010
#define inf 0x3f3f3f3f

using namespace std;
int siz[maxn],ch[maxn][2],fix[maxn],val[maxn],a[maxn],f[maxn];
int tmx[maxn],lmx[maxn],rmx[maxn],sum[maxn],rev[maxn],cov[maxn];
int T,cnt,n,m,b,root,com;
queue<int>trashcan;

inline int read()
{
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}

long int random()
{
static int seed=703;
return seed=int(seed*48271LL%2147483647);
}

inline int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
void swap(int &a,int &b){a^=b;b^=a;a^=b;}

int new_node(int v)
{
int x;
if(!trashcan.empty()) x=trashcan.front(),trashcan.pop();
else x=++cnt;
ch[x][0]=ch[x][1]=rev[x]=0;
cov[x]=inf;fix[x]=random();siz[x]=1;
val[x]=sum[x]=tmx[x]=v;
lmx[x]=rmx[x]=max(v,0);
return x;
}

void update(int x)
{
if(ch[x][0]&&ch[x][1])
{
siz[x]=1+siz[ch[x][0]]+siz[ch[x][1]];
sum[x]=sum[ch[x][0]]+sum[ch[x][1]]+val[x];
tmx[x]=max(tmx[ch[x][0]],tmx[ch[x][1]]);
tmx[x]=max(tmx[x],rmx[ch[x][0]]+val[x]+lmx[ch[x][1]]);
lmx[x]=max(lmx[ch[x][0]],sum[ch[x][0]]+val[x]+lmx[ch[x][1]]);
rmx[x]=max(rmx[ch[x][1]],sum[ch[x][1]]+val[x]+rmx[ch[x][0]]);
}
else if(ch[x][0])
{
siz[x]=siz[ch[x][0]]+1;
sum[x]=sum[ch[x][0]]+val[x];
tmx[x]=max(tmx[ch[x][0]],rmx[ch[x][0]]+val[x]);
lmx[x]=max(lmx[ch[x][0]],sum[ch[x][0]]+val[x]);
lmx[x]=max(0,lmx[x]);
rmx[x]=max(0,val[x]+rmx[ch[x][0]]);
}
else if(ch[x][1])
{
siz[x]=siz[ch[x][1]]+1;
sum[x]=sum[ch[x][1]]+val[x];
tmx[x]=max(tmx[ch[x][1]],lmx[ch[x][1]]+val[x]);
rmx[x]=max(rmx[ch[x][1]],sum[ch[x][1]]+val[x]);
rmx[x]=max(0,rmx[x]);
lmx[x]=max(0,lmx[ch[x][1]]+val[x]);
}
else
{
siz[x]=1,sum[x]=tmx[x]=val[x];
lmx[x]=rmx[x]=max(val[x],0);
}
}

void reverse(int x)
{
swap(ch[x][0],ch[x][1]);
swap(lmx[x],rmx[x]);
rev[x]^=1;
}

void cover(int x,int v)
{
val[x]=v;sum[x]=siz[x]*v;
lmx[x]=rmx[x]=max(sum[x],0);
tmx[x]=max(sum[x],val[x]);
cov[x]=v;
}

void pushdown(int x)
{
if(rev[x])
{
if(ch[x][0]) reverse(ch[x][0]);
if(ch[x][1]) reverse(ch[x][1]);
}
if(cov[x]!=inf)
{
if(ch[x][0]) cover(ch[x][0],cov[x]);
if(ch[x][1]) cover(ch[x][1],cov[x]);
}
rev[x]=0;cov[x]=inf;
}

int build(int *data,int n)
{
int x,last=0;static int sta[maxn],top;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
x=new_node(data[i]),last=0;
while(top&&fix[sta[top]]>fix[x]) update(sta[top]),last=sta[top],sta[top--]=0;
if(top) ch[sta[top]][1]=x;
ch[x][0]=last;sta[++top]=x;
}
while(top) update(sta[top--]);
return sta[1];
}

void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
if(!now) x=y=0;
else
{
pushdown(now);
if(siz[ch[now][0]]>=k) y=now,split(ch[now][0],k,x,ch[now][0]);
else x=now,split(ch[now][1],k-siz[ch[now][0]]-1,ch[now][1],y);
update(now);
}
}

int merge(int A,int B)
{
if(A) pushdown(A); if(B) pushdown(B);
if(A*B==0) return A+B;
if(fix[A]<fix[B]){ch[A][1]=merge(ch[A][1],B);update(A);return A;}
else{ch[B][0]=merge(A,ch[B][0]);update(B);return B;}
}

void trash(int x)
{
if(!x) return;
trashcan.push(x);
trash(ch[x][0]); trash(ch[x][1]);
}

void insert()
{
int pos=read(),len=read(),x,y; static int datas[maxn];
for(int i=1;i<=len;i++) datas[i]=read();
int rt=build(datas,len);
split(root,pos,x,y);
root=merge(merge(x,rt),y);
}

void del()
{
int pos=read(),len=read(),x1,x2,y1,y2;
split(root,pos-1,x1,x2);
split(x2,len,y1,y2);
root=merge(x1,y2); trash(y1);
}

void covers()
{
int pos=read(),len=read(),v=read(),x1,x2,y1,y2;
split(root,pos-1,x1,x2);
split(x2,len,y1,y2);
cover(y1,v);
root=merge(x1,merge(y1,y2));
}

void reverses()
{
int pos=read(),len=read(),x1,x2,y1,y2;
split(root,pos-1,x1,x2);
split(x2,len,y1,y2); reverse(y1);
root=merge(x1,merge(y1,y2));
}

void sums()
{
int pos=read(),len=read(),x1,x2,y1,y2;
split(root,pos-1,x1,x2);
split(x2,len,y1,y2);
printf("%d\n",sum[y1]);
root=merge(x1,merge(y1,y2));
}

int main()
{
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=read();
root=build(a,n);
static char s[20];
while(m--)
{
scanf("%s",s);
if(s[0]=='I') insert();
else if(s[0]=='D') del();
else if(s[0]=='M'&&s[2]=='K') covers();
else if(s[0]=='R') reverses();
else if(s[0]=='G') sums();
else printf("%d\n",tmx[root]);
}
return 0;
}