算法导论程序39--最优二叉搜索树（Python）

最优二叉搜索树：

给定一个n个不同关键字的已排序的序列K=<k1,k2,...,kn>（因此k1<k2<...<kn）我们希望用这些关键字构造一棵二叉树。对每个关键字ki,都有一个概率pi表示其搜索频率。

有些要搜索的值可能不在K中，因此，我们还有n+1个“伪关键字”d0,d1,d2,...,dn表示不在K中的值。d0表示所有小于k1的值，dn表示所有大于kn的值，对i=1,2,...,n-1伪关键字di表示所有在ki和k(i+1)之间的值。

对每个伪关键字di也都有一个概率qi表示对应的搜索频率。



假定一次搜索的代价等于访问的结点数，即此次搜索找到的结点在T中的深度再加1.那么在T中进行一次搜索的期望代价为：



对于一个给定的概率集合，我们希望构造一棵期望搜索代价最小的二叉搜索树，我们称之为最优二叉搜索树。

用动态规划方法求解此问题：

步骤1：最优二叉搜索树的结构：

考虑一棵二叉搜索树的任意子树，它必须包含连续关键字ki，...，kj（1<=i<=j<=n），而且其叶结点必然是伪关键字d(i-1),....,dj。

最优子结构：

如果一棵最优二叉搜索树T中有一棵包含关键字ki，...，kj（1<=i<=j<=n）的子树T‘，那么T'必然是包含关键字ki，...，kj和伪关键字d(i-1),....,dj的子问题的最优解。



步骤2：一个递归算法





root[i, j]保存根结点kr的下标r。

步骤3：计算最优二叉搜索树的期望搜索代价

def optimal_bst(p,q,n):
e=[[0 for j in range(n+1)]for i in range(n+2)]
w=[[0 for j in range(n+1)]for i in range(n+2)]
root=[[0 for j in range(n+1)]for i in range(n+1)]
for i in range(n+2):
e[i][i-1]=q[i-1]
w[i][i-1]=q[i-1]
for l in range(1,n+1):
for i in range(1,n-l+2):
j=i+l-1
e[i][j]=float("inf")
w[i][j]=w[i][j-1]+p[j]+q[j]
for r in range(i,j+1):
t=e[i][r-1]+e[r+1][j]+w[i][j]
if t<e[i][j]:
e[i][j]=t
root[i][j]=r
return e,root

if __name__=="__main__":
p=[0,0.15,0.1,0.05,0.1,0.2]
q=[0.05,0.1,0.05,0.05,0.05,0.1]
e,root=optimal_bst(p,q,5)
for i in range(5+2):
for j in range(5+1):
print(e[i][j]," ",end='')
print()
for i in range(5+1):
for j in range(5+1):
print(root[i][j]," ",end='')
print()

运行：

>>>
== RESTART: D:\Program Files\Python\test\algorithms\算法导论\39-optimal-bst.py ==
0  0  0  0  0  0.1
0.05  0.45000000000000007  0.9  1.25  1.75  2.75
0  0.1  0.4  0.7  1.2  2.0
0  0  0.05  0.25  0.6  1.2999999999999998
0  0  0  0.05  0.30000000000000004  0.9
0  0  0  0  0.05  0.5
0  0  0  0  0  0.1
0  0  0  0  0  0
0  1  1  2  2  2
0  0  2  2  2  4
0  0  0  3  4  5
0  0  0  0  4  5
0  0  0  0  0  5
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