【POJ3696】The Luckiest Number-欧拉定理+快速幂

测试地址：The Luckiest Number

题目大意：给出一个正整数L(≤2,000,000,000)，要使正整数888...8K位能整除L，求最小的K，如果不存在这样的K则输出0。

做法：这题的思路很神……没看题解的时候根本不知道怎么做，调也调了好一会，我好弱啊……

这一题需要使用欧拉定理+快速幂来解决。

我们发现999...9K位可以表示为10K−1，所以888...8K位可以表示为8/9×(10K−1)，那么存在一个整数p使得8/9×(10K−1)=L×p，所以10K−1=9/8×L×p。由于等式右边要是整数，那么p应该满足8|(L×p)。因为L已经包含gcd(L,8)这些因子，所以p需要包含8/gcd(L,8)这些因子，所以可以将p写成p=8/gcd(L,8)×p1。将其代入前面的式子，可以得到10K−1=9×L/gcd(L,8)×p1，设m=9×L/gcd(L,8)，则原式可以写成10K−1=m×p1，这样我们就把问题转化成了求同余方程10K≡1(modm)的最小的正整数解。根据欧拉定理，可以得到10φ(m)≡1(modm)，可以证明如果K是一个小于φ(m)的解，那么K|φ(m)。那么我们就可以按照下列步骤完成这一题：

1.求出m，φ(m)和φ(m)的所有质因子。这一步可以用O(N−−√)的试除法来做。

2.令x=φ(m)，对于φ(m)的每一个质因子pi，判断10x/pi%m是否等于1，如果等于则令x=x/pi，否则跳过。由于指数很大，需要使用快速幂来算出结果，而因为数字直接乘起来可能会溢出，要用快速乘代替乘法。

3.对所有质因子进行以上操作后，最后的x就是最小的K。

那么无解的情况呢？显然可知，如果gcd(10,m)≠1，那么上面的同余方程就无解。这样我们就完美解决了这一题。

犯二的地方：试除法忘记探测最后剩余是不是1了，导致可能漏掉一个质因子，以后要注意……

以下是本人代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll L,fac[1010]={0};

ll gcd(ll a,ll b)
{
return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}

ll phi(ll x)
{
ll p=x,s=x;
for(ll i=2;i*i<=s;i++)
if (!(x%i))
{
p=p/i*(i-1);
while(!(x%i)) x/=i;
}
if (x>1) p=p/x*(x-1);
return p;
}

void find_factor(ll x)
{
ll s=x;
fac[0]=0;
for(ll i=2;i*i<=s;i++)
if (!(x%i))
{
fac[++fac[0]]=i;
while(!(x%i)) x/=i;
}
if (x>1) fac[++fac[0]]=x;
}

ll mult(ll a,ll b,ll mod)
{
a%=mod,b%=mod;
ll s=a,sum=0;
while(b)
{
if (b&1)
{
sum+=s;
if (sum>=mod) sum-=mod;
}
b>>=1;
s<<=1;
if (s>=mod) s-=mod;
}
return sum;
}

ll power(ll a,ll b,ll mod)
{
ll s=a,sum=1;
while(b)
{
if (b&1) sum=mult(sum,s,mod);
b>>=1;s=mult(s,s,mod);
}
return sum;
}

int main()
{
int t=0;
while(scanf("%lld",&L)&&L)
{
t++;
ll m=L/gcd(L,8)*9,p=phi(m),x=p;
if (gcd(m,10)!=1) {printf("Case %d: 0\n",t);continue;}
find_factor(p);
for(int i=1;i<=fac[0];i++)
{
while(1)
{
x/=fac[i];
if (power(10,x,m)!=1)
{
x*=fac[i];
break;
}
else if (x%fac[i]) break;
}
}
printf("Case %d: %lld\n",t,x);
}

return 0;
}