游戏引擎架构----物理部分

1. 碰撞检测系统

物理世界

形状：

相交、
接触（分离矢量，沿该矢量运动就能高效脱离碰撞妆容）、
凸（由形状内发射的光线不会穿越形状两次以上）

原型：

球体、
胶囊体、
轴对其包围盒AABB、
定向包围盒OBB、
离散定向多胞形discrete oriented polytope DOP、
任意凸体积、
多边形汤（碰撞引擎必须和每个三角形测试）、
复合形状

碰撞测试：

点和球体相交

球体和球体相交

分离轴定理：凸形状于该轴（分离轴）上的投影不重叠，能确定两个形状不相交。分离两个物体的轴/面称为分离线/面。三维空间中，分离轴仍然是个轴，分离线变成分离面。可以把形状逐一投影到各个潜在分离轴，并检查投影区间是否相交

AABB相交：分离轴定理。三个轴x,y,z。只有在三个轴都重叠，才是相交的。
检测凸碰撞：GJK算法。依赖闵可夫斯基差：把A中的所有点与B中的所有点都成对相减，得到的集合就是闵可夫斯基差。当且仅当两个形状相交，闵可夫斯基差包含原点。GJK尝试在闵科夫斯基的凸包内，尝试找出一个包含原点的四面体。若找到，则相交。
运动物体间的碰撞：

离散的静态碰撞；
sweep shape扫琼形状做静态测试（结果不准确）；
连续碰撞检测continuous collision detection CCD，求出最早的冲击时间TOI

性能优化：

利用时间一致性避免每帧重新计算一些类型的信息
空间划分
粗略阶段，中间阶段，精确阶段：先AABB测试哪些物体会碰撞；再用符合形状的逼近包围体检测；最终进行青雀的碰撞检测
扫琼裁剪：sweep and prune，对各个膨胀提的AABB的最小，最大坐标再三个主轴上排序，然后通过遍历改有序表检测AABB之间是否重叠

碰撞查询：

光线投射：投射的物体并不存在于碰撞世界，不会影响其他物体。返回一个t值，P = P0 + td
形状投射：返回多个接触点。模拟玩家的脚
Phantom：查询碰撞体是否在其他指定体积里。对于其他碰撞体是透明的，也不参与动力学模拟。

碰撞过滤：决定碰撞体之间的接触是否成立

碰撞掩码及碰撞层：掩码
碰撞回调：回调函数按自己的条件决定接受或拒绝碰撞
碰撞材质：包含碰撞属性，如音效，粒子效果，摩擦系数等等

2. 刚体动力学

6个自由度DOF
线性动力学（质点）

线性速度&加速度
力&动量

运动方程求解

力作为函数：位置、速度、时间等的函数（常微分方程（ordinary differential equation ODE））。类似弹簧
解析解：找到闭合式函数，描述所有可能的时间值t的刚体位置（例如抛物线），但是游戏中几乎不可能。
常微分方程的数值解的特性：

收敛性：delta_t趋近于0的时候，近似解趋近镇世界？
阶数：误差是O(t^?)
稳定性：数值解是否会稳定下来？

数值积分：游戏引擎使用数值积分求解运动方程

显示欧拉

pos(t2) = pos(t1) + v(t1)delta_t
v(t2) = v(t1) + F(t)/m * delta_t
实际是假设在该时间步中，物体速度维持不变。由于位置的斜率就是速度，实际上也能理解为导数的逼近。当delta_t趋近于0的时候是合法的
一阶方法，误差是O(t^2)，准确度达到并包括delta_t一次方的泰勒级数

韦尔莱积分

可以仅仅用到加速度就求解位置
pos(t1+delta_t) = 2pos(t1) - pos(t1-delta_t) + F(t1)/m * delta_t^2 + O(t^4)
v(t1+delta_t) = delta_pos / delta_t

速度韦尔莱积分

pos（t+delta_t)= pos(t1) + v(t1)*delta_t + 0.5a(t1)*delta_+t^2
v(t+0.5delta_t) = v(t1) + 0.5a(t1)*delta_t
求a(t1+delta_t) (假设a仅仅依赖位置，如果依赖速度，则需要先计算速度近似值)
v(t+delta_t) = v(t1) + 0.5a(t1)*delta_t + 0.5a(t2)*delta_t
旋转动力学（刚体）

二维：

定向：角度theta
角速率&加速度：





转动惯量moment of inertia：改变角速率的难易程度。用I表示
力矩torque：用N表示

N=rxF
二维中力矩必然和z轴平行



二维旋转方程求解：


显示欧拉逼近解：



三维：

惯性张量：inertia tensor，标记为I

Ixx,Iyy,Izz是刚体绕三个主轴的转动惯量。如果3个主轴对称，则对角线以外的元素（也叫惯量积）就是0
物理引擎中惯性张量简化为三元素矢量[Ixx, Iyy, Izz]
转动惯量：Izz（惯性张量沿转轴方向的主值）

方向：

可以表示为3个欧拉角[theta_x, theta_y, theta_z]，但是会有万向节死锁，所以也会用四元数q表示
q=[旋转轴u*sin(0.5 theta), cos(0.5 theta)]

角速度：

矢量w：绕旋转轴u转角速度标量w=theta' * u
在无力矩情况下角速度能改变：角速度不守恒
但是角动量（angular momentum，表示为L）守恒。
L=[Lx, Ly, Lz]



由于w不守恒，所以不会像线性速度一般，视角速度为一个基本的两。角速度是第二级别的量，在确定了角动量L后才计算出w

力矩：

N = rxF = Ia = I dw/dt = d(Iw)/dt = dL/dt

三维旋转求解：

不能用二维旋转方程求解的方法求解了
需要直接对L求解
将角速度转化成四元数：w = [wx, wy, wz, 0]
方向q' = 0.5(w*q) =>四元数积



显示欧拉：



3.碰撞响应

冲量碰撞响应

根据动量守恒+动能守恒，得到公式：





如果是完全弹性碰撞，能量损失为0

无摩擦力下瞬时碰撞的牛顿恢复定律：假设接触点没有摩擦力，冲量必然垂直于表面法线



恢复系数：v2'-v1'=e(v2 - v1)
将两者求解得


根据e求得p^，带入v1 + p^/m1*n 求出v1'

惩罚性力：力会在短但有限的时间内产生所需的碰撞响应。就类似一个坚硬的阻尼弹簧。

容易实现及理解，适合低速撞击

约束

4. 摩擦力
静摩擦力
滑动摩擦力
滚动摩擦力
碰撞摩擦力



5. 休眠
将休眠物体移除模拟之外，但是仍然参与碰撞检测
条件：
刚体受到支持
v和角动量低于阈值
总动能（0.5pv+0.5Lw）低于阈值
Havok中有模拟岛：潜在近期会互动的物体组成。模拟岛能独立于其他岛模拟，并以整个岛为单位进入休眠。
6.约束
点对点约束
弹簧约束
铰链约束
活塞约束
平面约束
轮子：无限旋转的铰链+阻尼弹簧加入某种形式的垂直悬挂系统
约束链：特殊群组，内含供求解程序使用的物体连接信息。模拟一长串的刚体信息
布娃娃：刚体用约束互相链接。是由物理系统驱动的程序式动画
富动力约束（powered constraint）：外部引擎间接控制布娃娃的平移和定向。力+动画，力改变动画
7.控制运动
引力
施加力：多数引擎设计为每帧调用一次，力的影响也在该帧内
施加力矩：改变速度&角速度；力偶：一样大，方向相反，离质心距离相同的对点上施加。
施加冲量：速度瞬间改变，无穷短时间内的施力
8.游戏对象和刚体：
物理驱动的刚体
游戏驱动的刚体（动画、玩家驱动）：可当作含有无穷质量，力和力矩无法改变游戏驱动刚的速度
固定刚体：不参加动力学模拟，只有碰撞的刚体
9.更新模拟
更新游戏驱动刚体
更新phantom
施以力，冲量并调整约束
步进模拟：
对运动方程数值积分，求出次帧物理状态
碰撞检测
碰撞决议
实行约束
更新物理驱动的游戏对象
执行phantom&碰撞投射查询（以回调方式异步查询or使用上一帧的结果同步查询）
渲染
更新策略：
单线程更新
多线程更新：
物理专用线程：可能导致过期的位置信息-race condition-线程同步 or 使用命令队列做线程通信
fork, join：每个模拟岛步进的过程fork成独立的线程，当所有线程完成工作后join结果，主线程继续单线程更新。
作业模型

(图片没法调整大小，扎心了)