计算几何基础知识

向量的叉乘

三维叉积：两个向量 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2) 的叉积的结果是一个向量c。记作c=a×b。



其中i,j,k是三个轴上的单位向量。展开结果得到c=(y1-z2,x2z1-x1z2,x1y2-x2y1)。展开方式由三阶行列式的展开方式得到(见下)。其中的i,j,k作为单位向量合并，并写在对应坐标处。

根据叉积的计算式子，c 的模长等于以 b a, 为两条邻边所作成的平行四边形的面积，c的方向遵循右手定则（右手除大拇指外四指与a 平行，方向与a 一致，大拇指与a 垂直，然后四指转过一个小于π 的角到达b ，此时大拇指的方向就是c 的方向）。



二维叉积：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则我们可以将它们看做是z 轴为 0 的两个三维向量，根据定义我们可知叉积结果为 (0,0,x1y2-x2y1)。因此我们定义二维叉积为a×b=x1y2-x2y1，它的几何意义是，叉积结果大小等于以 a, b为两条邻边所作成的平行四边形的有向面积，即 a×b=|a|×|b|×sinθ。

所以向量叉乘可以判断两向量之间是顺时针还是逆时针。

三阶行列式展开

我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的三个对角线上的数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。

向量的旋转

向量a=(x,y)（沿起点）逆时针旋转θ（弧度），得到的向量b 的坐标

为 )b=(xcosθ-ysinθ , xsinθ+ycosθ) 。我们可以借助两个复数相乘，积的模等于两复数模的积， 积的辐角等于两复数辐角的和这个性质， 将旋转看做是两个复数相乘， 即（x+yi）与（cosθ+i*sinθ）相乘，再利用复数乘法式子（a+b*i)×(c+d*i*)=(ac-bd)+(ad+bc)i 得出上面向量旋转的结果。（复数中的i 代表 i² = - 1）。

注 计算几何pdf中的一些基础问题求法还需掌握。