01背包
2017-05-09 15:44
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让我假设现在的背包的容量是C=10;
物品编号: 1 2 3
物品重量: 5 6 4
物品价值:20 10 12
用v[i]表示物品价值,w[i]表示物品重量,要使得放入背包的物品价值最大化,我们知道用贪心是不行的!
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
所以接下来开始动规:
首先定义状态dp[i][j]以j为容量为放入前i个物品(按i从小到大的顺序)的最大价值,那么i=1的时候,放入的是物品1,这时候肯定是最优的啦!
那考虑一下j,j是当前容量,如果j<5,那么是不是就不能放,dp[1][j](j<5)=0;那如果j>5,就可以放了,dp[1][j](j>=5)=20;
接着i=2放两个物品,求的就是dp[2][j]了,当j<5的时候,是不是同样的dp[2][j](j<5)等于0;那当j<6是不是还是放不下第二个,只能放第一个;
那j>6呢?是不是就可以放第二个了呢?是可以,但是明显不是最优的,用脑子想了一下,发现dp[2][j](j>6)=20,这个20怎么来的呢,当然是从前一个状态来的(注意这里就可以分为两种情况了):一种是选择第二个物品放入,另一种还是选择前面的物品;
让我们假设一下j=10吧,可能会比较好理解!这时候:dp[2][10] = max(dp[1][10-w[2]])+v[2],dp[1][10]);
dp[2][10] = max(dp[1][4])+10,dp[1][10]);
是不是很明显了呢,dp[1][4])+10是选择了第二个,于是容量相应就减少成4,之前已经得出dp[1][4]=0,就是说选了物品2,物品1就选不了了;dp[1][10]是不选择第二个,只选择第一个dp[1][10]是等于20的,于是得出dp[2][10]=20;
到这里就可以了,依次类推,动态转移方程为:dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]])+v[i],dp[i-1][j]);
但是好像还有一些问题没考虑完.........
看回例子:
物品编号: 1 2 3
物品重量: 5 6 4
物品价值:20 10 12
我们知道dp[1][j](j<5)=20,dp[2][j](j=5)的时候是多少呢?我们看到动态转移方程并没有考虑j<w[i]的情况,但是我们可以加进去,由于dp[2][5]我们看出来是等于5的,为什么?因为不能选第二个,只能选第一个,所以.....dp[2][5]是不是刚好等于dp[1][5]了呢!所以当j<w[i]的时候,dp[i][j] = dp[i-1][j]就好了,是不是很神奇呢!
import java.util.Scanner;
public class 背包01 {
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int n;
Scanner scan=new Scanner(System.in);
n=scan.nextInt();
int t=scan.nextInt();
int v[]=new int[n+1];
int w[]=new int[n+1];
int dp[][]=new int[n+1][t+1];
for(int i=0;i<n;i++){
int vi=scan.nextInt();
int wi=scan.nextInt();
v[i+1]=vi;
w[i+1]=wi;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=t;j>=0;j--){
if(j>=w[i]){
dp[i][j]=MAX(dp[i-1][j-w[i]]+v[i],dp[i-1][j]);
}else{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
}
System.out.println(dp
[t]);
}
private static int MAX(int i, int j) {
// TODO Auto-generated method stub
return i>j?i:j;
}
}
物品编号: 1 2 3
物品重量: 5 6 4
物品价值:20 10 12
用v[i]表示物品价值,w[i]表示物品重量,要使得放入背包的物品价值最大化,我们知道用贪心是不行的!
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
所以接下来开始动规:
首先定义状态dp[i][j]以j为容量为放入前i个物品(按i从小到大的顺序)的最大价值,那么i=1的时候,放入的是物品1,这时候肯定是最优的啦!
那考虑一下j,j是当前容量,如果j<5,那么是不是就不能放,dp[1][j](j<5)=0;那如果j>5,就可以放了,dp[1][j](j>=5)=20;
接着i=2放两个物品,求的就是dp[2][j]了,当j<5的时候,是不是同样的dp[2][j](j<5)等于0;那当j<6是不是还是放不下第二个,只能放第一个;
那j>6呢?是不是就可以放第二个了呢?是可以,但是明显不是最优的,用脑子想了一下,发现dp[2][j](j>6)=20,这个20怎么来的呢,当然是从前一个状态来的(注意这里就可以分为两种情况了):一种是选择第二个物品放入,另一种还是选择前面的物品;
让我们假设一下j=10吧,可能会比较好理解!这时候:dp[2][10] = max(dp[1][10-w[2]])+v[2],dp[1][10]);
dp[2][10] = max(dp[1][4])+10,dp[1][10]);
是不是很明显了呢,dp[1][4])+10是选择了第二个,于是容量相应就减少成4,之前已经得出dp[1][4]=0,就是说选了物品2,物品1就选不了了;dp[1][10]是不选择第二个,只选择第一个dp[1][10]是等于20的,于是得出dp[2][10]=20;
到这里就可以了,依次类推,动态转移方程为:dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]])+v[i],dp[i-1][j]);
但是好像还有一些问题没考虑完.........
看回例子:
物品编号: 1 2 3
物品重量: 5 6 4
物品价值:20 10 12
我们知道dp[1][j](j<5)=20,dp[2][j](j=5)的时候是多少呢?我们看到动态转移方程并没有考虑j<w[i]的情况,但是我们可以加进去,由于dp[2][5]我们看出来是等于5的,为什么?因为不能选第二个,只能选第一个,所以.....dp[2][5]是不是刚好等于dp[1][5]了呢!所以当j<w[i]的时候,dp[i][j] = dp[i-1][j]就好了,是不是很神奇呢!
import java.util.Scanner;
public class 背包01 {
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int n;
Scanner scan=new Scanner(System.in);
n=scan.nextInt();
int t=scan.nextInt();
int v[]=new int[n+1];
int w[]=new int[n+1];
int dp[][]=new int[n+1][t+1];
for(int i=0;i<n;i++){
int vi=scan.nextInt();
int wi=scan.nextInt();
v[i+1]=vi;
w[i+1]=wi;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=t;j>=0;j--){
if(j>=w[i]){
dp[i][j]=MAX(dp[i-1][j-w[i]]+v[i],dp[i-1][j]);
}else{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
}
System.out.println(dp
[t]);
}
private static int MAX(int i, int j) {
// TODO Auto-generated method stub
return i>j?i:j;
}
}
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