51nod_1134 最长递增子序列(O(n*logn))

1134 最长递增子序列

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：

给出长度为N的数组，找出这个数组的最长递增子序列。(递增子序列是指，子序列的元素是递增的）

例如：5 1 6 8 2 4 5 10，最长递增子序列是1 2 4 5 10。

Input

第1行：1个数N，N为序列的长度(2 <= N <= 50000)

第2 - N + 1行：每行1个数，对应序列的元素(-10^9 <= S[i] <= 10^9)

Output

输出最长递增子序列的长度。

Input示例

8

5

1

6

8

2

4

5

10

Output示例

5

思路：这题 有O(n^2)（dp）的解法，也有O（n*logn）（二分）的解法

O(n^2)（dp）:

找最长递增子序列（是序列不是串），不难发现一个规律

a[i]表示i位置上的值，dp[i]表示从1到i位置的最长子序列的长度

i位置上能构成的最长子序列长度==i之前的所有位置中值（满足递增条件）小于a[i]的长度最长的（满足最长的条件）

有了这个等式 转移方程就很好写了

dp[i]=max(a[i]>a[1]?dp[1]:0, a[i]>a[2]?dp[2]:0, ……a[i]>a[i-1]?dp[i-1]:0)（存在）

dp[i]=1(不存在)

其实就是用一个for循环找1到i-1中，长度最长并且末尾小于a[i]的那一个

O（n*logn）（二分）:其实dp那种很好理解，但是时间复杂度略高，所以我们要找一种稍微快的方法，这样才能过这题；

，要使得递增子序列的长度最长，显然在每一次增加其长度的时候要使其末尾的值竟可能的小，有了这个思路其实就会发现确实可以优化前者（O(n^2)的方法）

思路：枚举a[1]~a
的时候 维护 长度从1~x(x为当前最长递增子序列的长度)的递增子序列的 末尾的值（比如说长度为3 的 1 2 4序列 把4维护下来 即b[3]=4）

那么就可以得到以下性质:

1.当a[i]

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int a[50005];
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);

int a[50005];
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
int b[5005];
b[1]=a[1];
int len=1;
for(int i=2;i<=n;i++){

if(a[i]>b[len]){
len++;
b[len]=a[i];
continue;
}
if(a[i]==b[len])
continue;
if(a[i]<=b[1]){
b[1]=a[i];
continue;
}
int l=1;
int r=len;

while(l<=r){//找恰好大于a[i]的一个数
int mid=(l+r)/2;
if(a[i]==b[mid])
break;
if(b[mid]<a[i]&&b[mid+1]>a[i]&&(mid+1)<=len){
b[mid+1]=a[i];
break;
}
if(b[mid]<a[i]&&b[mid+1]<a[i]&&(mid+1)<=len){
l=mid;
continue;
}
if(b[mid]>a[i]){
r=mid;
continue;
}

}

}
cout<<len<<endl;

return 0;
}