Floyd判圈算法（龟兔赛跑算法, Floyd's cycle detection）及其证明

问题：如何检测一个链表是否有环（循环节），如果有，那么如何确定环的起点以及环的长度。

空间要求：不能存储所经过的的每一个点。

举例：x0=1,xi+1=f(xi)，求循环节的起始位置以及循环节的长度。

求解步骤：

1.判断是否有环

使用两个指针slow和fast。两个指针开始时均在头节点处(S点)，slow指针（龟）一次向后移动一个一步，fast指针（兔）一次向后移动两步。若存在环，则slow和fast必能相遇；反之若slow到达链表尾时两个指针仍不能相遇，则不存在环。

证明

设头节点S与循环节起始点A之间举例|SA|=m。两个指针在B点相遇，|AB|=n。可知环中的点满足xi=xi+kl，其中l为循环节的长度，也就是说fast比slow多走了整数圈。当i=kl时，满足xi=x2i，这样的i一定存在，得证。

2.计算环的长度

这一步比较简单，让其中一个指针停在B不动，另一个一步一步向前走并记录步数，再次相遇时步数即为环的长度。

3.寻找环的起点

其中一个指针在B不动，另一个放到起点S，两个指针同时一步一步移动，则两指针将会在循环节的起点相遇。

证明

B点的下标 i=kl为l的整数倍。当放到S处的指针移动m到达A时，放在B的指针移动到i+m=kl+m处，于是两个指针相遇。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 2e7;
int f(int x)
{
int res = 0;
//此处填写递推式，使其走到下一步
return res;
}
//ori为起点处的值，len为循环节长度，id为循环节起始处坐标，val为循环节起始处的值
bool FloydCycle(int ori, int &len, int &id,  int &val)//有环返回true，无环返回false
{
int slow, fast;//慢指针和快指针
slow = f(ori);//快指针的移动速度是慢指针的2倍
fast = f(f(ori));
int cnt = 1;
while(slow != fast && cnt <= maxn)//maxn为链表尾节点
{
//快指针的移动速度是慢指针的2倍
slow = f(slow);
fast = f(f(fast));
cnt++;
}
if(slow != fast) return false;//无环

len = 1;//环的长度
slow = f(slow);
while(slow != fast)
{
slow = f(slow);
len++;
}

id = 0;
slow = 1;
while(slow != fast)
{
slow = f(slow);
fast = f(fast);
id++;
}
val = slow;

return true;
}