离散基础 (2). 关于“解空间的大小”的计算问题

底，顶运算，

是，

将连续数据转化为离散数据，

的，

一种有效工具。

1. 基本运算

底顶等法则1： ⌊x⌋=n⇔n≤x<n+1

底顶等法则2： ⌊x⌋=n⇔x−1<n≤x

底顶等法则3： ⌈x⌉=n⇔n−1<x≤n

底顶等法则4： ⌈x⌉=n⇔x≤n<x+1

底顶不等法则1： ⌊x⌋<n⇔x<n

底顶不等法则2： ⌊x⌋≥n⇔x≥n

底顶不等法则3： ⌈x⌉>n⇔x>n

底顶不等法则4： ⌈x⌉≤n⇔x≤n

问题1：给整数n∈[x,y),其中x≤y且x,y∈R，问区间包含整数的数目是？

由题意知，x≤n<y

根据n≥x⇔n≥⌈x⌉

n<y⇔n<⌈y⌉

有，

x≤n<y⇔⌈x⌉≤n<⌈y⌉

即，

[x,y)区间包含整数的数目是⌈y⌉−⌈x⌉

问题2：给整数n∈[x,y],其中x≤y且x,y∈R，问区间包含整数的数目是？

由题意知，x≤n≤y

根据n≥x⇔n≥⌈x⌉

n≤y⇔n≤⌊y⌋

有，

x≤n≤y⇔⌈x⌉≤n≤⌊y⌋

即，[x,y]区间包含整数的数目是⌈y⌉−⌊x⌋+1

问题3：给整数n∈(x,y],其中x≤y且x,y∈R，问区间包含整数的数目是？

由题意知，x<n≤y

根据n>x⇔n>⌊x⌋

n≤y⇔n≤⌊y⌋

有，

x<n≤y⇔⌊x⌋<n≤⌊y⌋

即，(x,y]区间包含整数的数目是⌊y⌋−⌊x⌋

问题4：给整数n∈(x,y),其中x≤y且x,y∈R，问区间包含整数的数目是？

由题意知，x<n<y

根据n>x⇔n>⌊x⌋

n<y⇔n≤⌈y⌉

有，

x<n<y⇔⌊x⌋<n<⌈y⌉

即，(x,y)区间包含整数的数目是⌈y⌉−⌊x⌋−1