算法中的数学思想

              最近接触了一些数学思想，感觉特别好用，在时间复杂度还有代码的简洁性方面都有很大的帮助。

       不多说，给出我的一些代码。

1.最大公约数

gcd（a，b）为最大公约数，一般用辗转相除法。相应的最小公倍数lcd（a，b）＝a＊b／gcd（a，b），用欧几里得算法加上递归，会使代码变的简洁。

int gcd(int x,int y)
{
if(y==0)
return x;
else
return gcd(y,x%y);
}

2.素数筛选

一般来说，判断一个数是否为素数较为简单，但是判断一个连续区间内的素数一个个判断时间上就会增加很多，而进行适当处理就可以有效的解决这一点。

//判断一个数是否为素数
//要include<math.h>
bool prime(int x)
{
int i;
for(i=2;i<=sqrt(x);i++)
{
if(x%i==0)
return false;
}
return true;
}

//判断一段区间2-n内的素数
for(int i=2;i<=n;i++)
prime[i]=1;  //先让全部都为素数，在进行筛选
for(int i=2;i<=n;i++)
{
for(j=i*2;j<=n;j+=i)
{
prime[i]=0;
}
}    //这样的时间复杂度为NlogN

//更简洁的版本，只对素数的倍数进行筛选。因为合数一定可以被他的素数因子筛选掉，初始也可以从i＊i开始。
for(int i=2;i<=n;i++)
prime[i]=1;
for(int i=2;i*i<n;i++)
{
for(j=i*i;j<n;j+=i)
{
prime[j]=0;
}
}

3.二分快速幂

对于a的b次幂，可以用每次对半的方式，会使时间复杂度低很多。直接给出代码，比较好理解。

int powab(int x,int y)  //求x的y次幂
{
int temp=y,ans=1;
for(;y;y/=2)
{
if(y&1)  //判断是否为奇数
{
ans*=temp%mod;  //因为比较大，都给取了余数，y最后一定会为1的，然后返回ans。
}
temp=temp*temp%mod;
}
}

//再给出个递归版本的
int powab(int x,int y)
{
if(y==0)
return 1%mod;
int temp=powab(x,y/2);
temp=temp*temp%mod;
if(b&1)
{
temp=temp*a%mod;
}
return temp;
}

4.矩阵快速幂

矩阵快速幂用来实现递推是很方便快速的，如在斐波那契数列的应用上，用二分矩阵快速幂的方法是很快的。

int n;   //让所有矩阵都为n＊n
typedef struct matrix jz;
struct matrix
{
int a[100][100];
};
jz matrix_mul(jz A,jz B,int mod)  //矩阵相乘
{
jz C;
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
C.a[i][j]=0;
for(int k=0;k<n;k++)
{
C.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j]%mod;
}
}
}
return C;
}
jz unit()  //返回一个单位矩阵
{
jz A;
for(int i=0;i<n)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(i==j)
A.a[i][j]=1;
else
A.a[i][j]=0;
}
}
return A;
}
jz matrix_pow(jz A,int n,int mod)  //矩阵的幂，用到前面的二分快速幂
{
jz temp=a,res=unit();
for(;n;n/=2)
{
if(n&1)
{
res=matrix_mul(res,temp,mod);
}
temp=matrix_mul(temp,temp,mod);
}
return res;
}

5.全排列

全排列可以算是一个算法问题，一般c语言用递归去实现它，但是在c++中可以用更方便的方法实现。

//全排列的一般递归算法
#include<stdio.h>
int a[4]={1,2,3,4};
void swap(int * x,int * y)
{
int temp;
temp=*x;
*x=*y;
*y=temp;
}
void permutatian(int x[],int n,int len)
{
int i,j;
if(n==len)
{
for(i=0;i<n;i++)
printf("%d",x[i]);
printf("\n");
return ;
}
for(i=n;i<len;i++)
{
swap(&x
,&x[i]);
permutatian(x,n+1,len);
swap(&x
,&x[i]);
}
}
int main()
{
permutatian(a,0,4);
return 0;
}

//c++简洁版
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int a[4]={1,2,3,4};
do
{
for(int i=0;i<4;i++)
{
printf("%d",a[i]);
}
printf("\n");
}
while(std::next_permutation(a,a+4));//或者这一句为while(next_permutation(a,a+4));
return 0;
}