方向导数与梯度概念

一.方向导数

（1）方向导数是个数值。

 

二维空间情形：



我们把f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)的值Value1与PP1的距离value2的比值的极值叫做沿PP1的方向导数。

三维空间计算过程相似；

 



二.梯度

（1）梯度是一个向量。

（2）沿梯度方向的方向导数达到最大值；

sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/8.7fangxiangdaoshuyutidu.htm

以二维空间为例，对于Z=f(x,y).在某点P(x0,y0)处的梯度可以理解为(DZ/Dx|x=x0，DZ/Dy|y=y0)。具体到离散状态，用差分的形式来表示

就是（一维的表示方法）

沿X方向    (f(x+Dx)-f(x)）

沿Y方向   （f(y+Dy)-f(y))

梯度的方向表示为Sigta=arctan(Dy/Dx)

所以求解一个图像的各个方向的梯度时，我们采用模板与图像的卷积来进行计算：


 
     
 
    

 
     
   
  


 

分别表示在90度，0度，135度和45度的变化。

总结：某一方向的方向导数也就是f(x,y)在该方向的变化率（也就是f(x+Dx,y+dy)-f(x,y)的值），当该方向与梯度的方向一致时梯度方向也就是方向导数最大的方向，方向导数的值就等于梯度的模。

 

 
http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/8.7fangxiangdaoshuyutidu.htm 讲解的更加详细