欧拉函数模板

一、单个欧拉函数计算

可评测链接：http://codevs.cn/problem/4939/

单个欧拉函数计算公式：φ（n）=n*（1-1/p1）*（1-1/p2）*……*（1-1/pn）

Step 1：

一边分解质因数一边算，时间复杂度O（n）

#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,ans;
int main()
{
while(1)
{
scanf("%lld",&n);
if(!n) break;
ans=n;
for(long long i=2;i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
while(n%i==0) n/=i;
ans=ans/i*(i-1);
}
printf("%lld\n",ans);
}
}

Step 2 :

性质：合数至少有一个不大于不大于根号n的素因子

所以循环只需循环到根号n即可 时间复杂度 O(根号n)

#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,ans;
int main()
{
while(1)
{
scanf("%lld",&n);
if(!n) break;
ans=n;
for(long long i=2;i*i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
while(n%i==0) n/=i;
ans=ans/i*(i-1);
}
if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
printf("%lld\n",ans);
}
}

Step 3：

素数除了2之外都是奇数，

所以单独处理2，然后之枚举根号n以内的奇数

时间复杂度 O[（根号n）/2]

#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
long long n,ans;
while(1)
{
scanf("%lld",&n);
if(!n) return 0;
ans=n;
if(n%2==0)
{
while(n%2==0) n/=2;
ans=ans/2;
}
for(long long i=3;i*i<=n;i+=2)
if(n%i==0)
{
while(n%i==0) n/=i;
ans=ans/i*(i-1);
}
if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
printf("%lld\n",ans);
}
}

二、欧拉筛

欧拉筛可以快速求[1,n]内所有数的欧拉函数，所以在涉及欧拉函数求和时会使用

利用性质：

如果i%p==0，那么φ（i*p）=φ（i）*p

如果i%p！=0，那么 φ（i*p）=φ（i）*（p-1） 其中p为质数

代码为求2——n的欧拉函数之和

评测链接：http://poj.org/problem?id=2478

时间复杂度：O（n）

#include<cstdio>
#define N 1000001
using namespace std;
bool check
;
int prime
,cnt,phi
,a;
long long sum
;
void euler()
{
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!check[i])
{
prime[++cnt]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=cnt;j++)
{
if(i*prime[j]>N) break;
check[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
int main()
{
euler();
for(int i=1;i<=N;i++) sum[i]+=sum[i-1]+1ll*phi[i];
while(1)
{
scanf("%d",&a);
if(!a) return 0;
printf("%lld\n",sum[a]-1);
}
}

三、埃氏筛法

埃氏筛法可以O（1）查询i是否与n互质，在涉及 查询与n互质的数是什么 时 会使用

时间复杂度：O（nlog²n）

下方代码为求与n互质的第k个数

评测链接：http://poj.org/problem?id=2773

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
bool check[1000001];
int euler(int n)//埃氏筛法模板
{
int m=int(sqrt(n+0.5));
int ans=n,k=n;
memset(check,0,sizeof(check));
for(int i=2;i<=m;i++)
if(n%i==0)
{
ans=ans/i*(i-1);
for(int j=1;i*j<=k;j++)
check[i*j]=true;
while(n%i==0) n/=i;
}
if(n>1)
{
ans=ans/n*(n-1);
for(int j=1;n*j<=k;j++)
check[n*j]=true;
}
return ans;
}
int main()
{
int m,k,ans,cnt,t,i;
while(scanf("%d%d",&m,&k)!=EOF)
{
ans=euler(m);
cnt=0;
if(k%ans==0) t=k/ans-1;
else t=k/ans;
k=k-ans*t;
for(i=1;i<=m;i++)
{
if(!check[i]) cnt++;
if(cnt==k) break;
}
printf("%d\n",i+m*t);
}
}