bzoj 3309: DZY Loves Math 莫比乌斯反演

题意

对于正整数n，定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数。例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0。

给定正整数a,b，求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b)。

T<=10000，1<=a,b<=10^7

分析

%%%PoPoQQQ大佬题解

本蒟蒻自己一直推到了最后一步，然后就是不会求那个前缀和。。。

大佬没有给线性筛求s(T)=∑d|Tf(d)∗μ(Td)的方法，我就随便口胡一下好了。

我们维护三个数组size[i],sum[i],mul[i]，分别表示其质因数个数，s(i)的值，i的每个质因数的乘积（即每个质因数的次数都是1然后相乘）。size和mul我们都可以通过线性筛顺带求出，问题就是怎么求出sum。对于一个i，若mul[i]==i则sum[i]=(−1)size[i]+1；若sum[i]!=0则sum[i*mul[i]]=sum[i]

搞定！打完收工

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 10000005
#define LL long long
using namespace std;

int tot,prime
,size
,mul
,sum
;
bool not_prime
;

void get_prime(int n)
{
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!not_prime[i]) prime[++tot]=i,size[i]=1,mul[i]=i;
if (mul[i]==i) sum[i]=size[i]%2==0?-1:1;
if (sum[i]&&(LL)i*mul[i]<=n) sum[i*mul[i]]=sum[i];
for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
{
not_prime[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0)
{
size[i*prime[j]]=size[i];
mul[i*prime[j]]=mul[i];
break;
}
size[i*prime[j]]=size[i]+1;
mul[i*prime[j]]=mul[i]*prime[j];
}
}
for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]+=sum[i-1];
}

LL solve(int n,int m)
{
if (n>m) swap(n,m);
LL ans=0;
for (int i=1,last;i<=n;i=last+1)
{
last=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=(LL)(n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]);
}
return ans;
}

int main()
{
get_prime(10000000);
int T;
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
printf("%lld\n",solve(n,m));
}
return 0;
}