bzoj 3309 DZY Loves Math

记录一下思路，蛮好的数论+筛题，顺便熟悉一下数学公式

∑i=1a∑j=1bf(gcd(i,j))=∑d∑i=1a/d∑j=1b/df(d)⋅[gcd(i,j)=1]=∑df(d)⋅∑i=1a/d∑j=1b/d∑x∣gcd(i,j)μ(x)=∑df(d)⋅∑xμ(x)⋅adx⋅bdx=∑DaD⋅bD⋅∑x∣Df(x)⋅μ(D/x)\begin{align*}
\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b f(gcd(i,j))&=\sum_d\sum_{i=1}^{a/d}\sum_{j=1}^{b/d}f(d)\cdot[gcd(i,j)=1] \\
&= \sum_d f(d)\cdot\sum_{i=1}^{a/d}\sum_{j=1}^{b/d}\sum_{x\mid gcd(i,j)}\mu(x) \\
&= \sum_df(d)\cdot\sum_x\mu(x)\cdot\dfrac{a}{dx}\cdot\dfrac{b}{dx}\\
&=\sum_D\dfrac{a}{D}\cdot\dfrac{b}{D}\cdot\sum_{x\mid D}f(x)\cdot\mu(D/x)\\
\end{align*}

我们令

g(n)=∑x∣nf(n/x)⋅μ(x)g(n)=\sum_{x\mid n}f(n/x)\cdot\mu(x)

这里的形式称为Dirichlet卷积

可以用O(nlog(n))O(nlog(n))的复杂度求出来

int f[MAXN],mu[MAXN],g[MAXN]={0};
void calc(int n)
{    
    for (int i=1;i*i<=n;i++)
        for (int j=i;i*j<=n;j++)
            if(j==i)g[i*j]+=f[i]*mu[i];
            else g[i*j]+=f[i]*mu[j]+f[j]*mu[i];
}

但是题目要求我们用线性的时间算出gg.

问题变成了如何高效的求出g(n)g(n)，不失一般性，我们首先来看看n=pkn=p^k，只有当x=px=p和x=1x=1时，μ\mu函数不等于0，所以这种情况下g(n)=1g(n)=1，注意，规定μ(1)=1\mu(1)=1。当nn的素因子不止一个的时候，假设不能产生ff的素因子组成的集合为AA，由于在这个集合里取值的个数会改变整体μ\mu函数的正负性，且正好符合(1−1)|A|(1-1)^{|A|}的二项式展开式，所以总体为0，因此如果nn的质因子分解中两个不同素数的幂不一样，那么g(n)=0g(n)=0，接下来我们考虑所有质因子的幂次都相同的情况，因为对nn的每一个质因子，μ\mu函数决定了xx只能取一个或者不去，当全部取走的时候f(n/x)=k−1f(n/x)=k-1，假设幂次为k,分解出的质因子个数为num，否则的话f(n/x)=kf(n/x)=k，用数学公式表示出来如下∑i=0num−1(numi)⋅k⋅(−1)i+(k−1)⋅(−1)num=(−1)num+1\sum_{i=0}^{num-1}\binom{num}{i}\cdot k\cdot (-1)^i+(k-1)\cdot(-1)^num =(-1)^{num+1}

所以我们需要用线性筛判断数nn的所有质因子的幂是否相等，回忆线性筛，我们用nn的最小素因子晒去nn，所以我们记录最小素因子的幂次即可。

然而还没有完。。。

我们需要O(n−−√)O(\sqrt{n})的复杂度回答询问，这里利用了n/xn/x的取值只有O(n−−√)O(\sqrt{n})数量级的性质，所以预处理出gg的前缀和以便计算，由于这个问题非常经典，下面给出代码。

for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){  
    j=min(n/(n/i),m/(m/i));  
    ans+=(f[j]-f[i-1])*(Sum(n/i,m/i));  
}

题目代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <time.h>
#include <cmath>
using namespace std;
#define N 10000000
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000007
typedef long long ll;

int num[N+10],g[N+10],prime[N+10],pre[N+10];
bool check[N+10];

void init()
{
    memset(check,false,sizeof(check));
    int tot=0;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!check[i]){
            prime[tot++]=i;
            num[i]=1;
            g[i]=1;
            pre[i]=1;
        }
        for(int j=0;j<tot;j++)
        {
            if((ll)i*prime[j]>N)
                break;
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                num[i*prime[j]]=num[i]+1;
                if(pre[i]==1||(num[i*prime[j]]==num[pre[i]]))
                    g[i*prime[j]]= (pre[i]==1)?1:-g[pre[i]];
                else
                    g[i*prime[j]]=0;
                pre[i*prime[j]]=pre[i];

            }
            else{
                num[i*prime[j]]=1;
                if(num[i]==1)
                    g[i*prime[j]]=-g[i];
                else
                    g[i*prime[j]]=0;
                pre[i*prime[j]]=i;
            }
        }
    }
    g[1]=0;
    for(int i=2;i<=N;i++)
        g[i]+=g[i-1];
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
#endif

    int T,a,b,pos;
    ll ans;

    init();

    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        if(a>b)
            swap(a,b);
        ans=0;
        for(int i=1;i<=a;i=pos+1)
        {
            pos=min(a/(a/i),b/(b/i));
            ans+=(ll)(a/i)*(b/i)*(g[pos]-g[i-1]);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }

    return 0;
}

外日，真TMD的累，突然对写博客的人产生了敬佩感。。。尤其是写数学公式的。。。