Optimal Array Multiplication Sequence UVA - 348 (最优矩阵链乘+递归输出路径+区间dp)

题目链接：https://vjudge.net/problem/19208/origin

题目大意：

对于一个a*b和b*c的矩阵相乘的结果为a*b*c， 如果有三个矩阵相乘就是a*b b*c c*d 这三个矩阵相乘，因为满足结合律，所以可以先乘后两个，再和第一个相乘。由于先乘那一对矩阵决定了运算量的大小，所以让你计算怎么结合相乘能使得运算量最小。

那么什么是运算量的大小呢：比如有三个矩阵为 2*3 3*4  4*5 的，如果先算前两个在和第三个相乘的话会得出2*3*4=>(变为)2*4的矩阵，在加上2*4*5得到2*5的矩阵，运算量为2*3*4+2*4*5=64；

而先算后两个得到3*4*5+2*3*5=90显然第一个运算量小。

然后给出每个矩阵的大小a和b。然后要求用括号分开输出。

ps：紫书p277

这是一个典型的区间dp问题，在递归打印的时候也是特别的典型，值得多做几遍。这里以每个矩阵进行dp,我要求的是从第一个到最后一个的矩阵的最小运算量。那么对于A1 X A2 X A3 X A4 X A5 X A6 X A7而言的话，我枚举每一个乘号作为分割点，假设以第三个乘号为分割点，那么就为（A1 X A2 X A3）X（A4
X A5 X A6 X A7），显然我已经把它分为两部分，然后在对这两部分进行枚举分割求值即可。课可见用记忆化搜索是比较好理解的。边界是当为一个矩阵是运算量自然是0.

那么转台转移方程为：dp[i][j]=min(dfs(i,k)+dfs(k+1,j)+a[i]*b[k]*b[j]),在这里为什么要求a[i]*b[k]*b[j]呢？因为我求的运算量，要吧每一步得运算量加起来，当我进行到此时这一步的时候，其运算量就是三个矩阵（这时把dfs(i,k)和dfs(k+1,j)）都当成的一个矩阵看待，那么他的运算量就是a[i]*b[k]*b[j]了。

  还有一个大问题就是怎么输出路径呢。因为所谓的路径就是加上括号和乘号，当然在每个矩阵的后面都要有一个乘号（最后一个除外），然而括号是在我求dp的过程中而记录下来的，因为当我在第k个乘号那更新dp[i][j]的时候，也就说明我要在这时加括号，那么我就进行标记一下，让在i~j的区间k处加上左括号，回溯时补上右括号就行了

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;
int a[50],b[50];
int dp[50][50];
int path[50][50];
int dfs(int i,int j)
{
int &ans=dp[i][j];
if(ans<INF)return ans;
if(i==j)ans=0;
else
{
for(int k=i;k<j;k++)
{
int ret=dfs(i,k)+dfs(k+1,j)+a[i]*b[k]*b[j];
if(ans>ret)
{
ans=ret;
path[i][j]=k;
}
}
}
return ans;
}
void pr(int i,int j)
{
if(i==j)
{
printf("A%d",i);
return ;
}
printf("(");
for(int k=i;k<j;k++)
{
if(path[i][j]==k)
{
pr(i,k);
printf(" x ");
pr(k+1,j);
break;
}
}
printf(")");
}
int main()
{
int n;
int w;
w=0;
while(scanf("%d",&n),n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
}
memset(dp,INF,sizeof(dp));
memset(path,0,sizeof(path));
dp[1]
=dfs(1,n);
printf("Case %d: ",++w);
pr(1,n);
printf("\n");
}
return 0;
}