UVA(348)——Optimal Array Multiplication Sequence（区间dp）

题意：

就是矩阵链乘，然后让你输出符合最小运算量的路径。

思路：

矩阵链乘的状态是：dp[i][j]:表示从i到j的矩阵合并起来需要进行多少的运算量。

状态转移方程为：dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+x[i]*y[k]*y[j])； 注意后面是y[k]，因为i~k合并后列数就是y[k]了，然后后面是y[j]，因为我们要将这两个大矩形合并，后面的列数也变成了y[j]。

然后是记录路径的问题，这个很巧妙，我一开始没有想到，但是这个和bfs里面输出路径的方式是相似的。

设一个数组par[i][j]，表示从i~j这一段区间里面我们的断点在哪个位置，然后输出的时候print(i,par[i][j]), print(par[i][j]+1,j) 这样分成两段来输出就好了。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
#define maxn 15
#define inf 99999999
int n;
int x[maxn],y[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int par[maxn][maxn];
void print(int i,int j){
if(i==j){
printf("A%d",i);
return ;
}
if(i>j) return ;
printf("(");
print(i,par[i][j]);
printf(" x ");
print(par[i][j]+1,j);
printf(")");
}
int main(){
int jj=1;
while(~scanf("%d",&n)){
if(n==0) break;
memset(dp,0,sizeof(dp));
memset(par,0,sizeof(par));
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
for(int len=2;len<=n;len++){
for(int s=1;s+len-1<=n;s++){
int e=s+len-1;
dp[s][e]=inf;
par[s][e]=s;
for(int k=s;k<e;k++){
int t=dp[s][k]+dp[k+1][e]+x[s]*y[k]*y[e];
if(dp[s][e]>t){
dp[s][e]=t;
par[s][e]=k;
}
}
}
}
printf("Case %d: ",jj++);
print(1,n);
printf("\n");
}
}
/*
3
1 5
5 20
20 1
0
*/

（2）递归写法

说实话我不是很擅长递归写法，因为不太明白递归写法的结束条件是什么。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
#define maxn 15
#define inf 99999999
int n;
int x[maxn],y[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int par[maxn][maxn];
int DP(int i,int j){
if(dp[i][j]>0) return dp[i][j];
if(i==j) return dp[i][j]=0;
int res=inf;
for(int k=i;k<j;k++){
int t=DP(i,k)+DP(k+1,j)+x[i]*y[k]*y[j];
if(t<res){
res=t;
par[i][j]=k;
}
}
return dp[i][j]=res;
}
void print(int i,int j){
if(i>j) return ;
if(i==j){
printf("A%d",i);
return ;
}
printf("(");
print(i,par[i][j]);
printf(" x ");
print(par[i][j]+1,j);
printf(")");
}
int main(){
int jj=1;
while(~scanf("%d",&n)){
if(n==0) break;
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
DP(1,n);
printf("Case %d: ",jj++);
print(1,n);
printf("\n");
}
}
/*
3
1 5
5 20
20 1
0
*/