算法学习之动态规划(leetcode 62. Unique Paths）

0x01题目

62. Unique Paths
A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

0x02解析

超级基本的动态规划题目。从图来看，直接应用动态规划思路。

定义概念：

dp[i][j]

定义为从

(0, 0)

到

(i, j)

的所有不同的路径数量。

边界初始化：由于只能往右和往下，显然

dp[0][j]=1

，

dp[i][0]=1

。

一般情况递推：假设到达

(i-1, j)

,

(i, j-1)

处的所有不同路径数均已知，即

dp[i-1][j]

和

dp[i][j-1]

已知，则显然

dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j]

，因为到达

dp[i][j]

只能通过

dp[i-1][j]

和

dp[i][j-1]

。如图所示。

0x03代码

根据以上思想可以写出如下代码，其空间复杂度为O(m*n)，时间复杂度为O(m*n)

public class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
if(m <= 0 || n <= 0) return 0;

int[][] dp = new int[m]
;
for(int i = 0; i < m; i++){
dp[i][0] = 1;
}
for(int j = 0; j < n; j++){
dp[0][j] = 1;
}

for(int i = 1; i < m; i++){
for(int j = 1; j < n; j++){
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}
}

return dp[m-1][n-1];
}
}

观察到上述算法在进行实际运行的时候，其实是一行一行“扫”下来的，或者说是一列一列“扫”下来的，因此，没有必要保留整个矩阵，只需要保留两行或者两列，下面代码是保留两列。cur含义是当前列，pre含义是上一列。其空间复杂度为O(2*m)（保留两行此值为O(2*n)），时间复杂度为O(m*n)

public class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
if(m <= 0 || n <= 0) return 0;

int[] pre = new int[m];
int[] cur = new int[m];
for(int i = 0; i < m; i++){
pre[i] = 1;
cur[i] = 1;
}

for(int j = 1; j < n; j++){
for(int i = 1; i < m; i++){
cur[i] = cur[i-1] + pre[i];
}
//update
for(int i = 1; i < m; i++){
pre[i] = cur[i];
}
}

return pre[m-1];
}
}

更进一步，只需要保留一行，其代码如下

public class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
if(m <= 0 || n <= 0) return 0;

int[] cur = new int
;
for(int j = 0; j < n; j++){
cur[j] = 1;
}

for(int i = 1; i < m; i++){
for(int j = 1; j < n; j++){
cur[j] += cur[j-1];
}
}

return cur[n-1];
}
}

参考

https://discuss.leetcode.com/topic/15265/0ms-5-lines-dp-solution-in-c-with-explanations