matlab 求解线性方程组

Matlab求解线性方程组

AX=B或XA=B 

在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如： 
X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解； 
X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。 

对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。 

如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有： 
m＝n 恰定方程，求解精确解； 
m>n 超定方程，寻求最小二乘解； 
m
针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。 

一．恰定方程组 

恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式： 
Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量； 
在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有： 
（1）利用cramer公式来求解法； 
（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b； 
（3）利用gaussian消去法； 
（4）利用lu法求解。 

一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。 
在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。 

在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。 

如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。 

注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。 

二．超定方程组 

对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快； 

示例：

A =

     2
   -1  
  3
     3
    1  
 -5
     4
   -1  
  1
     1
    3  
-13

>> b=[3 0 3 -6]'; 
>> x1=A\b

x1 =

    1.0000
    2.0000
    1.0000

>> x2=pinv(A)*b

x2 =

    1.0000
    2.0000
    1.0000

>> A*x1-b

ans =

  1.0e-014 *

   -0.0888
   -0.0888
   -0.1776
     
   0

可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。

三．欠定方程组

欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。

示例：

A =

     1
   -2  
  1     1
     1
   -2  
  1    -1
     1
   -2  
  1     5

>> b=[1 -1 5]';
>> x1=A\b 
Warning: Rank deficient, rank = 2,  tol =
  4.6151e-015. 

x1 =

   
 0
   
 0
   
 0
   
 1

>> x2=pinv(A)*b

x2 =

   -0.0000
    0.0000
   -0.0000
    1.0000