矩阵快速幂模板

(1)矩阵乘法

简单的说矩阵就是二维数组，数存在里面，矩阵乘法的规则:A*B=C






其中c[i][j]为A的第i行与B的第j列对应乘积的和，即:



(1)[b]矩阵快速幂
[/b]

[b]就是算A^n;方法很简单，把快速幂算法中的乘法改成矩阵的乘法就可以了[/b]
利用二分的思想然后把所有的数换为具有相同作用的矩阵即可（在快速幂中刚开始需要用1乘，而在矩阵快速幂中就要用单位矩阵）

应用篇

主要通过把数放到矩阵的不同位置，然后把普通递推式变成"矩阵的等比数列"，最后快速幂求解递推式:

先通过入门的题目来讲应用矩阵快速幂的套路(会这题的也可以看一下套路)：

例一:http://poj.org/problem?id=3070
题目：斐波那契数列f(n),给一个n，求f(n)%10000,n<=1e9;

(这题是可以用fibo的循环节去做的，不过这里不讲，反正是水题)

矩阵快速幂是用来求解递推式的，所以第一步先要列出递推式:

 f(n)=f(n-1)+f(n-2)

第二步是建立矩阵递推式，找到转移矩阵:



,简写成T * A(n-1)=A(n)，T矩阵就是那个2*2的常数矩阵，而




这里就是个矩阵乘法等式左边:1*f(n-1)+1*f(n-2)=f(n);1*f(n-1)+0*f(n-2)=f(n-1);

这里还是说一下构建矩阵递推的大致套路,一般An与A(n-1)都是按照原始递推式来构建的，当然可以先猜一个An,主要是利用矩阵乘法凑出矩阵T,第一行一般就是递推式，后面的行就是不需要的项就让与其的相乘系数为0。矩阵T就叫做转移矩阵(一定要是常数矩阵),它能把A(n-1)转移到A(n);然后这就是个等比数列，直接写出通项:

此处A1叫初始矩阵。所以用一下矩阵快速幂然后乘上初始矩阵就能得到An,这里An就两个元素(两个位置)，根据自己设置的A(n)对应位置就是对应的值，按照上面矩阵快速幂写法，res[1][1]=f(n)就是我们要求的。

给一些简单的递推式
1.f(n)=a*f(n-1)+b*[b]f(n-2)+c；（a,b,c是常数）[/b]



2.f(n)=c^n-f(n-1) ；（c是常数）



模板（用时只需改一下矩阵的大小和矩阵内的数即可）
#include <cstdio>

#include <iostream>

using namespace std;

const int MOD = 10000;

struct matrix

{

    int m[2][2];

}ans, base;

matrix multi(matrix a, matrix b)

{

    matrix tmp;

    for(int i = 0; i < 2; ++i)

    {

        for(int j = 0; j < 2; ++j)

        {

            tmp.m[i][j] = 0;

            for(int k = 0; k < 2; ++k)

                tmp.m[i][j] = (tmp.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j]) % MOD;

        }

    }

    return tmp;

}

int fast_mod(int n)  // 求矩阵 base 的  n 次幂 

{

    base.m
e1b4
[0][0] = base.m[0][1] = base.m[1][0] = 1;

    base.m[1][1] = 0;

    ans.m[0][0] = ans.m[1][1] = 1;  // ans 初始化为单位矩阵 

    ans.m[0][1] = ans.m[1][0] = 0;

    while(n)

    {

        if(n & 1)  //实现 ans *= t; 其中要先把 ans赋值给 tmp，然后用 ans = tmp * t 

        {

            ans = multi(ans, base);

        }

        base = multi(base, base);

        n >>= 1;

    }

    return ans.m[0][1];

}

int main()

{

    int n;

    while(scanf("%d", &n) && n != -1)

    {   

        printf("%d\n", fast_mod(n));

    }

    return 0;

}