第二章 运算方法和运算器

一、数据与文字的表示方法

1、数据格式

分为定点数的表示方法、浮点数的表示方法、十进制数串的表示方法三种。

（1）定点数的表示方法

1）表示对象：纯小数、纯整数
2）表示形式

Xn	Xn-1 Xn-2 ... X1 X0

符号 量值（尾数）
3）小数点位置
纯小数：小数点位于符号位和尾数之间
纯整数：小数点位于尾数最右边
4）数的表示范围
纯小数：0<=|x|<=1-2^(-n)
纯整数：0<=|x|<=2^(n)-1
注意：-0.001将表示为1.001

（2）浮点数的表示方法

1）表示方法
把一个数的有效数字（精度）和的范围在计算机的一个存储单元中分别予以表示。
2）任意一个十进制数可写成N=10^E.M
同样在计算机中一个任意进制数可以写成N=R^e.M
浮点数的指数：e，是比例因子的指数。
基数：R
尾数：即M，是一个纯小数。决定浮点数表示的精度。

阶码：指数e，用整数表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的范围。
3）一个机器浮点数的组成
阶符+阶码+数符+尾数
4）IEEE754标准下32位浮点数和64位浮点数的标准格式
32位（31~0）：
（31） （30~23） （22~0）
S（1位） + E（8位） +M（23位）
64位（63~0）：
（63）
（62~52） （51~0）

S（1位） +E（11位） +M（52位）
其中S表示数符，E表示阶码，M表示尾数。
少了一位阶符用移码表示正负指数的方法解决。移码方法对两个指数大小比较和对阶操作都比较方便。具体方法如下：
E = e + 127。（传统移码加128（10000000）,这里为了除去E用全0和全1表示真值为零和为无穷大的特殊情况加127（01111111））
5）浮点数的规格化
同一浮点数的表示是不唯一的，有多种小数点位置不同的表示形式。为了提高数据的表示精度，当尾数值不为0时，尾数域的最高有效位应为1，这称为浮点数的规格化。
6）在IEEE754标准下一个规格化的浮点数x的真值表示
x=(-1)^S * (1.M) * 2^(E-127)

（3）十进制数串的表示方法

1）字符串形式
一个字节存放一个十进制的数位
2）压缩的十进制数串形式
一个字节存放两个十进制的数位

2、数的机器码表示

数的机器码表示有原码、补码、反码、移码。

（1）正数x

原码、补码、反码、移码的形式都相同，为x

（2）负数x

定点小数
[x]原 = 1 - x =1 + |x|
[x]反 = (2 - 2^(-n)) + x
[x]补 = 2 + x = 2 - |x|
总结：[x]补 = [x]反 + 2^(-n)
定点整数

[x]原 = 2^n - x = 2^n + |x|
[x]反 = (2^(n + 1) - 1) + x
[x]补 = 2^(n + 1) + x
总结：[x]补 = [x]反 + 1

***简单的原码变补码的规律：原码从后往前看第一个一的右边位都求反，左边位不变。

移码的传统定义：[x]移 = 2^n + x -2^n<=x<=2^n
特点：移码和补码只有符号位不同

3.字符与字符串的表示方法

采用ASCII码（美国国家信息交换标准字符码）
它包括十进制数码，26个英文字母和一定数量的专用符号，如$,%,+，总共128个元素，因此二进制编码需要7位，加上一个偶校验位共8位。刚好一个字节。
ASCII码规定8个二进制位的最高一位为0，其余7位用来表示128个字符，其中95个编码可以显示，另外的33个字符（编码为0-31和127）被用作控制码。

ASCII码字母表如下：



字符串占主存中的连续多个字节，每个字节存一个字符。
当主存字由2个或4个字节组成时，在同一个主存字中，既可按从低位字节向高位字节的顺序存放字符串内容，也可按从高位字节向低位字节的顺序存储字符串内容。

4.汉字的表示方法

1）汉字的输入编码
数字编码：常用的是国家区位码，区位码是将国家国家标准局公布的6763个两级汉字分为94个区，每个区分94位，实际上把汉字表示成二维数组，每个汉字在数组中的下标就是区位码。
拼音码：以汉语拼音为基础的输入方法。
字形编码：用汉字的形状进行编码。把汉字的笔画部件用字母或数字进行编码，按笔画的顺序依次输入，就能表示一个汉字。例如五笔字型编码。
还有词组输入、联想输入等多种快速输入方法。

2）汉字内码
用于汉字信息的存储、交换、检索等操作的机内代码，一般采用两个字节表示。英文的机内代码是ASCII码，为了区别，中文汉字机内代码中两个字节的最高位用“1”表示。

3）汉字字模码（输出编码）
用点阵表示的汉字字形代码，是汉字的输出形式。
简易汉字为16*16点阵，提高形汉字为24*24点阵。以简易汉字为例，每个汉字占用32个字节，国标两级汉字要占用256k
字节，因此字模点阵只能用来构成汉字库，而不能用于机内存储。字库中存储每个汉字的点阵代码，当显示输出或打印输出时才检索字库，输出字模点阵，得到字形。

5.校验码

二、定点加法、减法运算

1.补码加法

假设采用定点小数表示

补码加法的公式：[x]补+[y]补 = [x+y]补 （mod 2）

补码加法的特定：
1）符号位作为数的一部分一起参加运算
2）超过模的进位要丢掉

2.补码减法

减法运算的公式：[x-y]补 = [x]补 - [y]补 = [x]补 + [-y]补

证明：
由[x]补+[y]补
= [x+y]补 得
[y]补 =

[x+y]补 -
[x]补
[-y]补 =
[x-y]补 -
[x]补
可得[y]补 +

[-y]补 = 0

注意：[-y]补
= ~[y]补 + 2^(-n)
对[y]补做包括符号位在内的求反操作再在最末尾加1.

3.溢出概念与检测方法（符号位相同才有溢出）

4.基本的二进制加减法器

三、定点乘法运算

1.原码并行乘法
2.直接补码并行乘法

四、定点除法运算

1.原码除法算法原理
2.并行除法器