最长回文子串第一部分（leetcode）

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http://articles.leetcode.com/longest-palindromic-substring-part-i

最长回文串I

2011年11月20日 作者：1337c0d3r

给定一个字符串S，找到S中最长的回文子串。

这个有趣的问题已经在着名的Greplin编程挑战中出现过，而且在面试中也经常被问到。为什么？因为这个问题可以在许多方面对你进行考验。目前我已知有五个不同的解决方案。你是否接受这个挑战？

转到在线法官现在解决它！（您可以提交C
++或Java解决方案）

提示：

首先，确保你明白回文串的含义。回文串是在两个方向上读起来都相同的字符串。例如，“aba”是回文串，“abc”不是。

一个常见的错误：

有些人会快速地想出一个解决方案，不幸的是含有缺陷（但可以很容易纠正）：

反转S并变成S'。找到S和S'之间最长的公共子字符串，它一定是最长的回文子字符串。

这看起来奏效，但是让我们看看下面的例子。

例如，

S =“caba”，S'=“abac”。

S和S'之间最长的共同子串是“aba”，这是答案。

让我们尝试另一个例子：

S =“abacdfgdcaba”，S'=“abacdgfdcaba”。

S和S'之间最长的公共子串是“abacd”。显然，这不是一个有效的回文。

我们可以看到，当在S的某些其他部分中存在非回文子串的逆转串时，最长公共子串方法无法奏效。为了纠正这种情况，每次我们找到最长的公共子串候选时，我们检查子字符串的索引是否与反向子字符串的原始索引相同。如果是，那么我们尝试更新到目前为止找到的最长的回文; 如果没有，我们跳过这个，找到下一个候选。

这个方法是复杂度O（N 2）的DP解决方案（可以改进以使用O（N）空间）。请阅读更多关于最长公共子串这里。

暴力解决方案，O（N 3）：

明显的暴力解决方案是选取子字符串的所有可能的开始和结束位置，并验证它是否是回文。总共有C（N，2）个这样的子串（不包括字符本身是回文的情况）。

由于验证每个子串需要O（N）时间，所以运行时间复杂度是O（N 3）。

动态规划解决方案，O（N 2）时间和O（N 2）空间：

为了改进来自DP方法的强力解决方案，首先想想如何避免在验证回文中进行不必要的重复计算。考虑“ababa”的情况。如果我们已经知道“bab”是回文，显然“ababa”必须是回文，因为两个左右端字母是相同的。

更正式地描述如下：

定义P [i，j]←如果子串S i ... S j是回文则为真，否则为假。

因此，

P [i，j]←（P [i + 1，j-1] 和 S i = S j）

基本情况是：

P [i，i]←真

P [i，i + 1]←（S i = S i +
1）

这产生一个直接的DP解决方案，我们首先初始化一个和两个字母回文，并努力找到所有三个字母回文，等等...

这为我们提供了O（N 2）的运行时复杂度，并使用O（N 2）空间来存储表。

string longestPalindromeDP(string s) {
int n = s.length();
int longestBegin = 0;
int maxLen = 1;
bool table[1000][1000] = {false};
for (int i = 0; i < n; i++) {
table[i][i] = true;
}
for (int i = 0; i < n-1; i++) {
if (s[i] == s[i+1]) {
table[i][i+1] = true;
longestBegin = i;
maxLen = 2;
}
}
for (int len = 3; len <= n; len++) {
for (int i = 0; i < n-len+1; i++) {
int j = i+len-1;
if (s[i] == s[j] && table[i+1][j-1]) {
table[i][j] = true;
longestBegin = i;
maxLen = len;
}
}
}
return s.substr(longestBegin, maxLen);
}

附加练习：

你能进一步改进上述空间复杂度和时间复杂度吗？

一个更简单的方法，O（N 2）时间和O（1）空间：

事实上，我们可以解决它在O（N 2）时间且无需任何额外的空间。

我们观察到回文都是围绕它的中心展开的。因此，回文可以从其中心扩展，并且只有2N-1个这样的中心。

你可能会问为什么有2N-1但不是N中心？原因是回文中心可以在两个字母之间。这样的回文具有偶数个字母（例如“abba”），并且它的中心在两个b之间。

因为围绕其中心扩展回文需要花费O（N）时间，所以总体复杂度是O（N 2）。

string expandAroundCenter(string s, int c1, int c2) {
int l = c1, r = c2;
int n = s.length();
while (l >= 0 && r <= n-1 && s[l] == s[r]) {
l--;
r++;
}
return s.substr(l+1, r-l-1);
}

string longestPalindromeSimple(string s) {
int n = s.length();
if (n == 0) return "";
string longest = s.substr(0, 1);  // a single char itself is a palindrome
for (int i = 0; i < n-1; i++) {
string p1 = expandAroundCenter(s, i, i);
if (p1.length() > longest.length())
longest = p1;

string p2 = expandAroundCenter(s, i, i+1);
if (p2.length() > longest.length())
longest = p2;
}
return longest;
}

进一步的想法：

O（N）解决方案是否存在？猜一下吧！然而，这不是很容易解释清楚的的，需要一些非常聪明的观察。O（N）解决方案在我的下一篇文章中解释。

»继续阅读 Longest
Palindromic Substring Part II。