【以前的空间】斜率优化的一点点总结

今天有看了一道dp题，发现好像裸不能过，应该是要斜率优化，结果发现自己那点傻×智商早把这东西忘得差不多，而且当时也是有点乱不是弄得很懂。于是又花了一个早上来整理下。

《用单调性优化动态规划》

这个东西的话很好。但是由于我蒟蒻所以看不懂。先找了模板题到网上找题解，然后跟着题解自己推。那么我就用《[ZJOI2007]仓库建设》来推吧！

首先很容易写出状态转移方程

f[i]:=Min（f[j]+w[j,i])+c[i]

其中f[i]表示前i个的最优状态且在i建一个仓库，j表示上一个仓库的位置。

w[j,i]=p[j+1]*(x[i]-x[j+1])+p[j+2]*(x[i]-x[j+2])+……+p[i-1]*(x[i]-x[i-1])+p[i]*(x[i]-x[i])（p.s 按照论文里面的说法：为了之后的式子好看保留最后一项）。

于是朴素的话就是枚举i之前的j，这样复杂度是o（n²）。

我们把w[j,i]这个式子展开，再合并，得到

w[j,i]=x[i]*(p[j+1]+p[j+2]+……+p[i])-(p[j+1]*x[j+1]+p[j+2]*x[j+2]+……+p[i]*x[i])；

记sum1[i]=Σp[i],sum2[i]=Σp[i]*x[i]，然后w[j,i]可化为

w[j,i]=x[i]*(sum1[i]-sum1[j])-(sum2[i]-sum2[j])

=-x[i]*sum1[j]+sum2[j]+x[i]*sum1[i]-sum2[i];

然后把w[j,i]带入原来的方程得到

f[i]:=Min(f[j]+sum2[j]-x[i]*sum1[j])+x[i]*sum1[i]-sum2[i]+c[i] （后面几个都是根据i唯一确定的，所以可以从Min中提取出来）

然后就是斜率优化的东西了！

把Min中由i确定的看成是系数，也就是这个方程中的-x[i]，先设为a。

把与系数相乘的那个设为x，也就是这个方程中的sum1[j]。

把剩下的那些东西都设为y，也就是这个方程中的sum2[j]+f[j]。

最后把f[i]设为G。

然后就变成G=ax+y，进而得到y=-ax+G。之后就是论文里面一些balabala的东西了。

但是我觉得这样解释不如另一种解释斜率优化好（便于像我这样的蒟蒻理解）：

设j,k为i之前两个决策点，且i>j>k,以及j决策要优于k决策

那么f[j]+w[j,i]<f[k]+w[k,i]

也就是f[j]+sum2[j]-x[i]*sum1[j]<f[k]+sum2[k]-x[i]*sum1[k]

移项就是f[j]+sum2[j]-f[k]-sum2[k]<x[i]*(sum1[j]-sum1[k])

然后用之前说的x,y,a代替就是

y(j)-y(k)<a*(x(j)-x(k))

然后x是单调递增的所以x(j)>x(k)，所以除过去得到

(y(j)-y(k))/（x(j)-x(k))<a 然后这个式子不就是斜率的公式么……

所以若k<j且j优于k则满足上面这个式子。

然后就是维护规则了。

维护一个单调队列，里面记录决策的位置，且里面的决策的位置都是单调递增的。

首先对于当前i来说，它的最优决策就是满足(y(j)-y(k))/（x(j)-x(k))<a的最大一个j。于是从队头head开始，如果(y（head+1)-y(head))/（x(head+1)-x(head))<a就是head++，这样就可以找到(y(j)-y(k))/（x(j)-x(k))<a的最大一个j。也就是这时的head就是i的最优决策，于是f[i]=f[q[head]]+w[head,i]+c[i]。

然后就是把i加入队列中，同样也是要满足(y(j)-y(k))/（x(j)-x(k))<a，不过是要考虑进三个决策之间斜率的关系。由于斜率是单调递增的，且（y(tail)-y(tail-1))/(x(tail)-x(tail-1))<a(tail),(y(i)-y(tail))/(x(i)-x(tail))<a(i)，所以（y(tail)-y(tail-1))/(x(tail)-x(tail-1))<(y(i)-y(tail))/(x(i)-x(tail))，按照这个规则维护，如果tail不符合这个规则那么tail--，直到tail符合，然后把决策i加入决策队列中，即q[++tail]=i。

然后就是这样了！