约瑟夫环问题数学优化方法

约瑟夫环问题来历：

   据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。[1] 

17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。

数学优化方法如下：

        为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

      我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）: 　　   k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2 　　并且从k开始报0。现在我们把他们的编号做一下转换：

      k –> 0 　　k+1 –> 1 　　k+2 –> 2

     n-1 –> n-1-k     0–> n-k

        … … 　　

     k-3 –> n-3 　　k-2 –> n-2

     序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n

     序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n

     序列3： k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1 　　

     序列4：1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1 　　

      变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

   　∵ k=m%n; 　　

       ∴ x’ = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

       ∴x’= (x+ m%n)%n = (x+m)%n 　　得到 x‘=(x+m)%n

        如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 —- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

      令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f
.

      递推公式: 　　f[1]=0; 　　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

代码实现

#include<cstdio>
int main()
{
int n,m,ans; //n为人数，m为数到m的人自杀
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
ans=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
ans=(ans+m)%i; //递推
printf("%d\n",ans+1); //由于假设编号从0开始所以最后答案应该加1
}
return 0;
}