贪心算法 - 最小生成树 Prim算法

一个无向带权图G=(V,E)，其中n个顶点Vertex，以及连接各个顶点之间的边Edge，可能有些顶点之间没有边，每条边上的权值都是非负值。

生成树：

G的一个子图，包含了所有的Vertex，和部分的Edge。

最小生成树：

所有的生成树中，各条Edge上的权值总和最小的一个。

例子：设计通信网络时，各个城市之间铺设线路，最经济的方案。

最小生成树性质：

G=(V,E)，

S是V的真子集，

如果u在S中，v在V-S中，且(u,v)是图的一条边，称之为特殊边，且(u,v)是所有特殊边中最短的，

那么，(u,v)这条边一定在最小生成树中。

Prim算法：

任意指定一个顶点作为起始点，放在S中。

每一步将最短的特殊边放入S中，需要n-1步，即可把所有的其他的点放入S中。算法结束。



对于这个图，Prim算法的过程为：



代码：

public class MST {

public static final int NOT_REACHED = -1;

/**
* @param E n*n
*/
public static void prim(int[][] E) {
int n = E.length;

boolean[] S = new boolean
;
int[] dist = new int
;
int[] prev = new int
;

S[0] = true; // 选取顶点1作为起始点
for (int i = 1; i < n; i++) {
dist[i] = E[0][i];
prev[i] = 0;
S[i] = false;
}

int min = -1, minV = -1;
for (int i = 1; i < n; i++) {
min = -1;
minV = -1;
// 选择离S中顶点最近的点
for (int j = 1; j < n; j++) {
if (!S[j] && dist[j] != -1 && (min == -1 || dist[j] < min)) {
min = dist[j];
minV = j;
}
}
if (minV == -1)
continue;

S[minV] = true;

// S中多了个点，需要改变S离外面的点的最短距离
for (int j = 1; j < n; j++) {
if (!S[j] && isReachable(E, minV, j)
&& (dist[j] == -1 || E[minV][j] < dist[j])) {
dist[j] = E[minV][j];
prev[j] = minV;

b2f1
}
}

// 输出测试结果
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (S[j]) {
System.out.print((j + 1) + " ");
}
}
System.out.println();
}

}

private static boolean isReachable(int[][] E, int v1, int v2) {
return E[v1][v2] != NOT_REACHED;
}

public static void main(String[] args) {
int[][] E = { { -1, 6, 1, 5, -1, -1 }, { 6, -1, 5, -1, 3, -1 },
{ 1, 5, -1, 5, 6, 4 }, { 5, -1, 5, -1, -1, 2 },
{ -1, 3, 6, -1, -1, 6 }, { -1, -1, 4, 2, 6, -1 } };

prim(E);
}
}

运行结果：

1 3

1 3 6

1 3 4 6

1 2 3 4 6

1 2 3 4 5 6