机器学习笔记 - 决策树最优划分属性选择

由决策树算法可知, 其关键点在于如何选择最优划分属性, 一般而言, 随着划分过程不断进行, 我们希望形成纯度高的分支节点和叶结点.

信息增益

信息熵可以用来衡量样本集合纯度. 假定 样本集合D, 其中第k类样本所占比例为pk(k=1,2,...,γ), 则D的熵为

Ent(D)=−∑k=1γpklog2pk

熵越小, 则样本集合纯度越高, 以信息论的角度看, 也就是信息量越小.

假定离散属性a有V个可能的取值 {a1,a2,...,av}, 使用a来对样本集合D进行划分, 产生V个分支节点. 其中第v个分支节点包含D中所有取值为av的样本, 记为Dv. 我们可以根据上面的公式计算Dv的信息熵, 于是可以计算用属性a划分的信息增益, 计算方法为:

Gain(D,a)=Ent(D)−∑v=1V|Dv||D|Ent(Dv)

信息增益越大, 也就是使用属性 a划分所获得纯度提升越大, 因此我们可以用信息增益来决定决策树的划分属性. 这就是著名的ID3决策树学习算法(Iterative Dichotomiser 3).

增益率

使用信息增益进行决策树划分， 会偏好可取值数目多的属性， 可能导致决策树泛化能力弱， 为了解决这个问题， 引入了增益率, 其定义如下:

Gain_ratio(D,a)=Gain(D,a)IV(a)

IV(a)=−∑v=1V|Dv||D|log2|Dv||D|

这就是C4.5决策树学习算法.

基尼指数

数据集的纯度也可以用基尼指数来度量:

Gini(D)=∑k=1γ∑r!=kpkpr=1−∑k=1γp2k

则属性a划分后的基尼指数为

Gini_index(D,a)=∑v=1VGini(Dv)

最优划分属性 a=argmin(Gini_index(D,a)),a∈A

这就是CART决策树算法

这里是一个简单的实现:

https://github.com/volvet/MLInAction/tree/master/DecisionTrees

Reference

机器学习 - 周志华 清华大学出版社

Machine Learning in Action - Peter Harington