动态规划之最长公共子序列 （LCS ）

最长公共子序列和最长公共子串问题
【问题描述：】

假设有两个序列，序列A：1,3,5,4,2,6,8,7 序列B：1,4,8,6,7,5.

则序列AB的最长公共子序列 1487,1467。最长公共子序列是不连续的，最长公共子串是连续的。

子序列：一个序列A ＝ a1,a2,……an,中任意删除若干项，剩余的序列叫做A的一个子序列。也可以认为是从序列A按原顺序保留任意若干项得到的序列。
请注意：子序列不是子集，它和原始序列的元素顺序是相关的。

【问题分析：】

    我们假设Ax为序列A的连续前x项的子序列，即a1a2a3….ax，By为序列B的前y项的子序列，用L(x,y)表示序列Ax，By的最长公共子序列的长度。

（1）  ax == by

我们令t = ax = by，则L(Ax,By)的最长公共子序列的最后一项一定是t，如果不是t，则一定存在比他更长的公共子序列。如果删掉最后一项t，则最长公共子序列为L(x-1,y-1)。为什么呢？，原理同上。所以推出dp[x][y] =dp[x-1][y-1]+1。

（2）  ax != by

仍然设L(Ax,By)的最后一项为t，当t== ax时，则t ！= by，所以在By序列的最后一项元素一定不是by，只能够是by前面的元素，也就是说L（Ax，By）和by一点关系都没有，即可得dp[x][y]=dp[x][y-1];同理可得dp[x-1][y]；又因为不确定L(Ax,By)得最后一项是ax还是by，所以dp[x][y]=max(dp[x-1][y],dp[x][y-1]);

代码如下：

for(int i = 1; i <= strlen(a); i ++)
for(int j = 1; j <= strlen(b); j ++)
if(a[i] == b[j])
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
else
dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);


下面再说下关于输出最长公共子序列的问题，只需要用回溯进行标记输出即可。

LCSLength（int lena, int lenb）{
for(int i = 1; i <= strlen(a); i ++)
for(int j = 1; j <= strlen(b); j ++)
if(a[i] == b[j]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
x[i][j] = 0;
}
else{
if(dp[i-1][j] > dp[i][j-1]){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
x[i][j] = -1;
}
else{
dp[i][j] = dp[i][j-1];
x[i][j] = 1;
}
}.
}

PrintLCS(int lena, int lenb){
if(lena == 0 || lenb == 0)
return ;
if(x[lena][lenb] == 0){
PrintLCS(lena – 1,lenb - 1);
printf(“%c”,a[lena - 1]);
}
else if(x[lena][lenb] == -1)
PrintLCS(lena-1,lenb);
else
PrintLCS(lena,lenb-1);
}


最后再说下最长公共子串的求法，因为最长公共子串是连续的，所以如果ax！=by 则L（Ax，By） = 1，相等时的情况和最长公共子序列的情况一样。