动态规划实现最长公共子序列(LCS)算法

实验目的：

熟悉并实现最长公共子序列算法，理解动态规划算法的核心思想。

问题定义

输入任意两个字符串，求其最长公共子序列。
输入格式：两条随机序列，如 1 3 4 5 5 and 2 4 5 5 7 6
输出格式：它们的最长公共子序列，例：4 5 5
最小规模：程序可处理的序列长度不得小于100

实验思想

记 Xi=﹤x1，⋯，xi﹥即X序列的前i个字符 (1≤i≤m)（前缀）
Yj=﹤y1，⋯，yj﹥即Y序列的前j个字符 (1≤j≤n)（前缀）
假定Z=﹤z1，⋯，zk﹥∈LCS(X , Y)。
若xm=yn（最后一个字符相同），则不难用反证法证明：该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z（设长度为k）的最后一个字符，即有zk = xm = yn 且显然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前缀Zk-1是Xm-1与Yn-1的最长公共子序列。
若xm≠yn，则亦不难用反证法证明：要么Z∈LCS(Xm-1, Y)，要么Z∈LCS(X , Yn-1)。
由于zk≠xm与zk≠yn其中至少有一个必成立，若zk≠xm则有Z∈LCS(Xm-1 , Y)，类似的，
若zk≠yn 则有Z∈LCS(X , Yn-1)
若xm=yn，则问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的长度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的长度加1）
若xm≠yn 则问题化归成求Xm-1与Y的LCS及X与Yn-1的LCS
LCS(X , Y)的长度为：max{LCS(Xm-1 , Y)的长度, LCS(X , Yn-1)的长度}求LCS(Xm-1 , Y)的长度与LCS(X , Yn-1)的长度
这两个问题不是相互独立的：
两者都需要求LCS(Xm-1，Yn-1)的长度,另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS，故问题具有最优子结构性质 考虑用动态规划法。

引进一个二维数组C，用C[i,j]记录Xi与Yj的LCS的长度如果我们是自底向上进行递推计算，那么在计算C[i,j]之前，C[i-1,j-1], C[i-1,j]与C[i,j-1]均已计算出来。此时我们
根据X[i]=Y[j]还是X[i]≠Y[j]，就可以计算出C[i,j]：
若X[i]=Y[j]，则执行C[i,j]←C[i-1,j-1]+1；若X[i]≠Y[j]，则根据：
C[i-1,j]≥C[i,j-1]，则C[i,j]取C[i-1,j]；否则C[i,j]取C[i,j-1]。

为了构造出LCS，使用一个m×n的二维数组b，b[i,j]记录C[i,j]是通过哪一个子问题的值求得的,以决定搜索的方向：
若C[i-1,j]≥C[i,j-1]，则b[i,j]中记入“↑”；
若C[i-1,j] < C[i,j-1]，则b[i,j]中记入“←”；
为节省空间，数组b亦可不用，直接根据X[i]=Y[j]还是X[i]≠Y[j]以及C[i,j-1]，C[i-1,j]来找出搜索方向：
X[i]=Y[j]等价于b[i,j]=“↖”，
X[i]≠Y[j]且C[i,j-1] > C[i-1,j] 等价于b[i,j]=“←”，
X[i]≠Y[j]且C[i,j-1] < C[i-1,j] 等价于b[i,j]=“↑”，
X[i]≠Y[j]且C[i,j-1] = C[i-1,j] 等价于b[i,j]=“←↑”。

整个算法的时间复杂度为O(M*N),算法至少需要M*N的空间。

测试数据及结果

本测试的硬件以及软件环境如下
CPU：PM 1.5G; 内存:768M;操作系统：windows xp sp2;软件平台：JDK1.5;开发环境：eclipse
如图1所示：即为求2个长度为100的随机字符串的最长公共子序列的算法结果。



图1

实验结论以及算法分析

通过测试证明算法正确有效。
性能分析的方法：使用JDK 1.5的System.nanoTime()，计算算法消耗的时间，以此来评价算法。（该方法在JDK1.5以下的版本中不支持）
为了不影响算法的准确度，在测试的过程我们注释掉了打印随机字符串的步骤，仅仅计算对这两个随机字符串求最长公共子序列的功能。

图2

图2 蓝线表示输入随机字符串在等长的情况下，n增大时求最长公共子序列对所消耗的时间，该趋势随着指数增加。



图3（单位ms）
图3表示字符串1的长度为100，随着字符串2的的长度增加程序运行的时间消耗。该趋势趋近于线性增长的。
图2和图3表明该程序的时间复杂度与理论分析相符合。

源代码

最长公共子序列算法(java描述）
LCS.Java


package lcs;




import java.util.Random;






public class LCS ...{




public static void main(String[] args) ...{




//设置字符串长度


int substringLength1 = 100;


int substringLength2 = 100;




// 随机生成字符串


String x = GetRandomStrings(substringLength1);


String y = GetRandomStrings(substringLength2);




Long startTime = System.nanoTime();


// 构造二维数组记录子问题x[i]和y[i]的LCS的长度


int[][] opt = new int[substringLength1 + 1][substringLength2 + 1];




// 动态规划计算所有子问题




for (int i = substringLength1 - 1; i >= 0; i--) ...{




for (int j = substringLength2 - 1; j >= 0; j--) ...{


if (x.charAt(i) == y.charAt(j))


opt[i][j] = opt[i + 1][j + 1] + 1;


else


opt[i][j] = Math.max(opt[i + 1][j], opt[i][j + 1]);


}


}




//System.out.println("substring1:"+x);


//System.out.println("substring2:"+y);


//System.out.print("LCS:");




int i = 0, j = 0;




while (i < substringLength1 && j < substringLength2) ...{




if (x.charAt(i) == y.charAt(j)) ...{


System.out.print(x.charAt(i));


i++;


j++;


} else if (opt[i + 1][j] >= opt[i][j + 1])


i++;


else


j++;


}


Long endTime = System.nanoTime();


System.out.println(" Totle time is " + (endTime - startTime) + " ns");


}




//取得定长随机字符串




public static String GetRandomStrings(int length) ...{


StringBuffer buffer = new StringBuffer("abcdefghijklmnopqrstuvwxyz");


StringBuffer sb = new StringBuffer();


Random r = new Random();


int range = buffer.length();




for (int i = 0; i < length; i++) ...{


sb.append(buffer.charAt(r.nextInt(range)));


}


return sb.toString();


}


}