bzoj3894 文理分科（网络流最小割）

Description

文理分科是一件很纠结的事情！（虽然看到这个题目的人肯定都没有纠结过）

小P所在的班级要进行文理分科。他的班级可以用一个n*m的矩阵进行描述,每个格子代表一个同学的座位。每位同学必须从文科和理科中选择一科。同学们在选择科目的时候会获得一个满意值。满意值按如下的方式得到：

1．如果第i行第秒J的同学选择了文科，则他将获得art[i][j]的满意值，如果选择理科，将得到science[i][j]的满意值。

2．如果第i行第J列的同学选择了文科，并且他相邻（两个格子相邻当且仅当它们拥有一条相同的边）的同学全部选择了文科，则他会更开心，所以会增加same_art[i][j]的满意值。

3．如果第i行第j列的同学选择了理科，并且他相邻的同学全部选择了理科，则增加same_science[i]j[]的满意值。小P想知道，大家应该如何选择，才能使所有人的满意值之和最大。请告诉他这个最大值。

分析：

1.对于这种n选1可以得到一些收益，并且在一些特殊情况下有更多收益的，一般判断为网络流。而处理冲突情况，一般通过添加一条inf边来表示。

这个题目直接正向求不好求，于是我们选择将总收益减去最小代价。

2.那么我们令S为学文，T为学理，对于额外的收入，加入一个新的点。



3.而具体的来说，对于这个图，x表示一个学生，与S连通表示学文，与T连通表示学理。y表示新加的点，用来计算同时学理的额外收益，与S连通表示不

要额外收益，与T连通表示要额外收益先算出总收益，在用最小割减去即可。

4.于是我们可以列出方程：

c+d=B[i]+WB(学生i学文，不要额外收益，损失学理收益，损失额外收益)
a+b=A[i](学生i学理，要额外收益，损失学文收益)
b+f+c=inf(学生i学文，要额外收益)
a+e+d=A[i]+WB（学生学理，不要额外收益，损失学文收益，损失学理额外收益）

解得：

a=A[i]
b=0
c=B[i]
d=WB
e=0
f=inf

同时学文类似，只是方向不同，收益不同。

5.所以，最终的建图就是：

step 1 S向每一个学生连边，容量为学文的收益，每个学生再向T连边，容量为学理的收益。
step 2 S向代表相邻5个人都学文收益点连边，容量为同时学文的收益
step 3 该点再向对应5个人连边，容量为inf，表示只要有人学理，就必须割掉同时学文的收益
step 4 学理类似

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxm=1000010;
const int maxn=300010;
const int INF=1e9;
int to[maxm],Next[maxm],Begin[maxn],w[maxm],e;
int n,m;
int art[110][110],sci[110][110],same_art[110][110],same_sci[110][110];
int id[110][110],gap[maxn],d[maxn];
int dx[5]={0,0,0,1,-1},dy[5]={0,1,-1,0,0};
int s,t;
int sum;
void addedge(int x,int y,int z){
to[++e]=y;
Next[e]=Begin[x];
Begin[x]=e;
w[e]=z;
}
void add(int x,int y,int z){
addedge(x,y,z);addedge(y,x,0);
}
int isap(int x,int flow){
if(x==t) return flow;
int res=flow;
int v;
for(int i=Begin[x];i;i=Next[i])if(w[i]>0 && d[x]==d[v=to[i]]+1){
int Min=isap(v,min(res,w[i]));
w[i]-=Min;w[i^1]+=Min;
res-=Min;
if(!res) return flow;
}
if(!(--gap[d[x]])) d[s]=t;
++gap[++d[x]];
return flow-res;
}
int cnt;
bool pd(int x,int y){
return x>=1 && x<=n && y>=1 && y<=m;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
e=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++) id[i][j]=++cnt;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&art[i][j]),sum+=art[i][j];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&sci[i][j]),sum+=sci[i][j];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&same_art[i][j]),sum+=same_art[i][j];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&same_sci[i][j]),sum+=same_sci[i][j];
s=cnt*3+1;t=s+1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
int tmp=(id[i][j]-1)*3;
add(s,tmp+1,art[i][j]);
add(tmp+1,t,sci[i][j]);
add(s,tmp+2,same_art[i][j]);
for(int k=0;k<5;k++){
int tx=i+dx[k],ty=j+dy[k];
if(!pd(tx,ty)) continue;
add(tmp+2,3*(id[tx][ty]-1)+1,INF);
}
add(tmp+3,t,same_sci[i][j]);
for(int k=0;k<5;k++){
int tx=i+dx[k],ty=j+dy[k];
if(!pd(tx,ty)) continue;
add(3*(id[tx][ty]-1)+1,tmp+3,INF);
}
}
int maxflow=0;
for(gap[0]=t;d[s]<t;){
maxflow+=isap(s,INF);
}
printf("%d",sum-maxflow);
return 0;
}

^_^