洛谷 P3390 【模板】矩阵快速幂

这题的确是个模板

但也要提到有关矩乘的内容：

首先什么是矩阵？

给一个线性变换

F(x) (她可能就是个函数，定义域为向量集)

她可以把一个N维向量变成M维

那么显然x的每一维都可能影响着F(x)的每一维，于是F(x)这个线性变换就应该是N*M个在每两维间的小映射构成的。

于是我们可以把她写成M行N列的矩阵（M行N列是出于习惯）

所以矩阵是用于形象的表示线性变换的工具；

所以怎么合乎习惯的构造矩阵呢？

举例说明：

如，有一个三元组（3维向量）x{a,b,c}

定义F(x)={a+b,b+c}

那么可以构造矩阵（2*3的）：

1 1 0

0 1 1

为什么是她呢？

其实矩阵的第i行表示x的每一维对F(x)的第i维的影响；

矩阵的i行j列，表示x的第j维以什么权值（其实是多少倍）影响F(x)第i维的构造；

x的所有维对F(x)的某一维的影响的和，即是F(x)这一维的结果；

如，对于上文中的矩阵；

把x{a,b,c}扔进去；

得到F(x)={1*a+1*b+0*c，0*a+1*b+1*c}={a+b,b+c}

然后什么是矩阵乘法呢？

线性变换作为一种映射，当然可以复合啦！

比如F(x)把五维向量变成四维，G(x)把四维向量变成三维；

那么G[F(x)]就能把五维向量变成三维了；

设H(x)=G[F(x)];

那么H(x)的矩阵是什么呢？

她是G和F的乘积；

如何相乘？

回到本题开头的例子：

F显然是个4*5的矩阵，G是3*4的

H应该是3*5的（行数前列数后）

由上题给出的理解方式H[i,j](表示H的第i行第j列)

表示x的第j维对H(x)的第i行的影响

影响是怎么产生的呢？

Ej先是按照F第j列影响了F(x)的每一维；

F(x)的每一维又按照G第i列影响了G[F(x)]的第i维；

如下图的两矩阵（左边为G，右边F）

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复合得

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标记复合矩阵的某点

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原矩阵的如下点贡献了复合矩阵的这个点

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*** **
***

所以H[i,j]=F[1,j]*G[i,1]+F[2,j]*G[i,2]+F[3,j]*G[i,3]+....啦

话说，你是可以得知H[i,j]与G，F中的那些值有关，但是你怎么得到具体的公式的呢？

这个公式的证明需要需要用到线性变换的性质——F(x+y)=F(x)+F(y)之类的(还是我之前已经用到了?)，

由于篇幅，不好细证，其实举例就能理解的，

(就是这东西很好证，博主我不证啦)

然后是代码：

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct ss{
long long a[101][101];
};
ss re;
ss map;
ss ans;
int n;
long long m;
ss mul(ss ,ss );
int Sqr(long long );

int main()
{
int i,j,k;
scanf("%d%lld",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&map.a[i][j]);
ans.a[i][i]=1;
}
Sqr(m);
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=n;j++)
printf("%d ",ans.a[i][j]);
printf("\n");
}
return 0;
}

int Sqr(long long m)
{
while(m){
if(m&1)
ans=mul(ans,map);
m>>=1;
map=mul(map,map);
}
}

ss mul(ss x,ss y){
int i,j,k;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++){
re.a[i][j]=0;
for(k=1;k<=n;k++)
re.a[i][j]=(re.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])% 1000000007;
}
return re;
}

祝AC哟;