期望&概率dp总结
2017-01-25 16:34
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总算刷完kuangbin期望&概率专题了,下面总结一下心得和题解!
1.期望dp
期望dp通常逆推,即从结果推向初始状态,也可以用记忆化搜索进行dp;
E=Σp1*(E1+X1)+Σp2*(E+X2)
其中E为当前状态的期望,E1为下一个状态的期望,p1和X1分别为将当前状态转移到下一个状态的概率和花费,p2和X2分别为保持当前状态的概率和花费。
最后化简为E=(Σp1*(E1+X1)+Σp2*X2)/(1-Σp2)
2.概率dp
概率dp通常顺推,即从初始状态推向结果,E=Σp1*E1
其中E为当前状态的概率,E1为上一个状态的概率,p1是由上一个状态转移到当前状态的概率
3.高斯消元
当概率dp不能用递推式进行状态转移时,就需要用到高斯消元
如果有n个状态,则需要建立n*(n+1)行的矩阵,用A[i][j]表示
A[i][j]表示由状态i转移到状态j的概率,通常将最后一列设为0,再让A[i][i]+=-1
1.期望dp
期望dp通常逆推,即从结果推向初始状态,也可以用记忆化搜索进行dp;
E=Σp1*(E1+X1)+Σp2*(E+X2)
其中E为当前状态的期望,E1为下一个状态的期望,p1和X1分别为将当前状态转移到下一个状态的概率和花费,p2和X2分别为保持当前状态的概率和花费。
最后化简为E=(Σp1*(E1+X1)+Σp2*X2)/(1-Σp2)
2.概率dp
概率dp通常顺推,即从初始状态推向结果,E=Σp1*E1
其中E为当前状态的概率,E1为上一个状态的概率,p1是由上一个状态转移到当前状态的概率
3.高斯消元
当概率dp不能用递推式进行状态转移时,就需要用到高斯消元
如果有n个状态,则需要建立n*(n+1)行的矩阵,用A[i][j]表示
A[i][j]表示由状态i转移到状态j的概率,通常将最后一列设为0,再让A[i][i]+=-1
const double eps = 1e-6; typedef vector<double> vec; typedef vector<vec> mat; vec gauss_jordan(const mat& A, const vec& b) { int n = A.size(); mat B(n, vec(n + 1)); for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = 0; j < n; j++) B[i][j] = A[i][j]; for (int i = 0; i < n; i++) B[i] = b[i]; for (int i = 0; i < n; i++) { int pivot = i; for (int j = i; j < n; j++) { if (fabs(B[j][i]) > fabs(B[pivot][i])) pivot = j; } swap(B[i], B[pivot]); if (fabs(B[i][i]) < eps) return vec(); for (int j = i + 1; j <= n; j++) B[i][j] /= B[i][i]; for (int j = 0; j < n; j++) { if (i != j) { for (int k = i + 1; k <= n; k++) B[j][k] -= B[j][i] * B[i][k]; } } } vec x(n); for (int i = 0; i < n; i++) x[i] = B[i] ; return x; }
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