[置顶] 关于多元正态分布的条件概率密度
2017-01-10 21:16
501 查看
原文来师兄的博客:http://blog.csdn.net/wjj5881005/article/details/53320403
多元正态分布
多元正态分布的条件密度
fx(x1,...xn)=1(2π)k√|Σ|1/2exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)) (1)
其对应的矩母函数(也有称动差函数)为exp(μTt+12tTΣt)。事实上,如果随机向量[X1,...Xn]满足上面的动差函数,那么我们就称随机向量[X1,...Xn]服从多元高斯分布。具体地证明可以看这里。
f(xn|x1,...,xn−1)=f(x1,...,xn−1,xn)f(x1,...,xn−1) (2),
其中f(x1,...,xn)=(2π)−n/2(|Σ|−1/2)exp[−12∑ni,j=1yiqijyj] (3)
其中Q=Σ−1=[qij],yi=xi−μi。同样地,
f(x1,...,xn−1)=∫∞∞f(x1,...,xn−1,xn)dxn=B(y1,...,yn−1) (4).
现在我们将公式(3)中的求和项进行分解,有:
∑ni,j=1yiqijyj=∑n−1i,j=1yiqijyj+yn∑n−1j=1qnjyj+yn∑n−1i=1qinyj+qnny2n(5)
因此,最终地条件分布具有如下的形式:
A(y1,...,yn−1)B(y1,...,yn−1)exp[−(Cy2n+D(y1,...,yn−1)yn)] (6)
其中C=(1/2)qnn,因为Q=Σ−1是对称矩阵,所以D=∑n−1j=1qnjyj=∑n−1i=1qinyi.(6)式又可以进一步表示称如下的式子:
[ABexp(DD24C)]exp[−(yn+D2C)2]1C (7)
从公式(7)很容看出xn的条件密度函数是服从正态分布的。
所以条件分布的方差为:2Var(Xn|X1,...,Xn−1)=1/C,进一步有:Var(Xn|X1,...,Xn−1)=12C=1qnn
均值为:
E(Xn|X1,...,Xn−1)=μn−D2C=μn−1qnn∑n−1j=1qnj(Xj−μj)
这就说明了再抽样多元正态分布时,如果已知了其它维度的随机变量值,剩下的那个维度的随机变量也是服从正态分布。
多元正态分布
多元正态分布的条件密度
多元正态分布
多元正态分布的密度函数如下 :fx(x1,...xn)=1(2π)k√|Σ|1/2exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)) (1)
其对应的矩母函数(也有称动差函数)为exp(μTt+12tTΣt)。事实上,如果随机向量[X1,...Xn]满足上面的动差函数,那么我们就称随机向量[X1,...Xn]服从多元高斯分布。具体地证明可以看这里。
多元正态分布的条件密度
令随机向量[X1,...Xn]服从多元高斯分布。我们可以推导Xn在给定X1,...Xn−1的情况下的条件密度分布:f(xn|x1,...,xn−1)=f(x1,...,xn−1,xn)f(x1,...,xn−1) (2),
其中f(x1,...,xn)=(2π)−n/2(|Σ|−1/2)exp[−12∑ni,j=1yiqijyj] (3)
其中Q=Σ−1=[qij],yi=xi−μi。同样地,
f(x1,...,xn−1)=∫∞∞f(x1,...,xn−1,xn)dxn=B(y1,...,yn−1) (4).
现在我们将公式(3)中的求和项进行分解,有:
∑ni,j=1yiqijyj=∑n−1i,j=1yiqijyj+yn∑n−1j=1qnjyj+yn∑n−1i=1qinyj+qnny2n(5)
因此,最终地条件分布具有如下的形式:
A(y1,...,yn−1)B(y1,...,yn−1)exp[−(Cy2n+D(y1,...,yn−1)yn)] (6)
其中C=(1/2)qnn,因为Q=Σ−1是对称矩阵,所以D=∑n−1j=1qnjyj=∑n−1i=1qinyi.(6)式又可以进一步表示称如下的式子:
[ABexp(DD24C)]exp[−(yn+D2C)2]1C (7)
从公式(7)很容看出xn的条件密度函数是服从正态分布的。
所以条件分布的方差为:2Var(Xn|X1,...,Xn−1)=1/C,进一步有:Var(Xn|X1,...,Xn−1)=12C=1qnn
均值为:
E(Xn|X1,...,Xn−1)=μn−D2C=μn−1qnn∑n−1j=1qnj(Xj−μj)
这就说明了再抽样多元正态分布时,如果已知了其它维度的随机变量值,剩下的那个维度的随机变量也是服从正态分布。
相关文章推荐
- 关于多元正态分布的条件概率密度
- 多元正态分布的条件概率分布(一)
- 关于多元正态分布的条件分布的证明
- [置顶] 多元正太分布条件密度
- [置顶] 多元正态分布的后验采样(包含程序)
- 关于条件概率,全概率公式,贝叶斯公式
- 多元正态分布条件分布公式总结
- 关于条件判断的高级用法
- 关于我省选调生的报考条件
- 关于条件查询DetachedCriteria的一点体会
- 关于条件表达式
- 如果在高速公路上30分钟内到一辆车开过的几率是0.95,那么在10分钟内看到一辆车开过的几率是多少 (假设为常概率条件下) - Google, 谷歌,百度,baidu,阿里巴巴,alibaba,微软,华为,huawei面试题,
- 关于在DataTable中执行DataTable.Select("条件")返回DataTable的解决方法
- 关于在DataTable中执行DataTable.Select("条件")返回DataTable的解决方法
- 关于在断点处设置条件的方法
- 关于多重条件的搜索查询(sql server+c#)
- 关于色子的概率计算
- Student02370236关于【关于用多态取代条件判断】
- 关于存储过程中一个参数表示多个查询条件使用方法的简单处理
- 关于在DataTable中执行DataTable.Select("条件")返回DataTable的解决方法