部分背包问题的贪心算法正确性证明

一，部分背包问题的贪心算法

部分背包问题可以用贪心算法求解，且能够得到最优解。

贪心策略是什么呢？将物品按单位重量 所具有的价值排序。总是优先选择单位重量下价值最大的物品。

单位重量所具有的价值：Vi / Wi

举个例子：假设背包可容纳50Kg的重量，物品信息如下：

物品 i      重量(Kg)      价值           单位重量的价值

1             10          60                 6

2             20          100               5

3             30          120               4

按照我们的贪心策略，单位重量的价值排序： 物品1 > 物品2 > 物品3

因此，我们尽可能地多拿物品1，直到将物品1拿完之后，才去拿物品2.....

最终贪心选择的结果是这样的：物品1全部拿完，物品2也全部拿完，物品3拿走10Kg（只拿走了物品3的一部分！！！）

这种选择获得的价值是最大的。

二，部分背包问题的贪心策略的正确性证明

贪心策略是：总是优先选择单位重量下价值最大的物品

正确性证明 是：使用该贪心策略，可以获得最优解。在这里，最优解就是带走的物品价值最大。

证明思路：先考察一个全局最优解，然后对该解加以修改(一般是采用“剪枝”技巧)，使其采用贪心选择，这个选择将原问题变成一个相似的、但是更小的问题。

先假设 物品集合S={W1，W2....Wn}已经按 单位重量价值从小到大排好序了。

并假设 一个全局最优解是：S(i)={Wi1，Wi2，.....Win}。Wi1，Wi2，.....Win是有序的。对于贪心选择而言，总是会优先
选择 Wn 的物品，当Wn 没有后，再选择Wn-1 .....

如果Win = Wn 问题已经得证。因为，我们的最优解S(i)中，已经包含了贪心选择。只要继续归纳下去，Wi(n-1) 就是 Wn-1 ....

如果Win != Wn 运用剪枝技巧，剪掉Win 并 贴上 Wn  此时，得到的是一个更优的解(因为价值更大了 ，Wn >
Win)。因为，Wn 是单位重量价值最高的那个物品啊，我们的贪心选择应该选择它，但是这里的最优解S(i)却没有选择它，于是我们用剪枝技巧，将它加入到S(i)中去，并把S(i)中的Win除去。  

这就证明了，如果用贪心策略来进行选择，得到的是最优解。从而证明了贪心算法的正确性。

其实，也就是证明了一定存在一个最优解，这个最优解就是由贪心选择组成的。

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