《算法概论》第八章NP完全问题——8.19习题解

题目描述

题解

首先图示说明一下什么是风筝图，如下就是一个n＝4的风筝图。



其次，通过从团问题规约到风筝图问题来证明风筝图问题是NP-完全的。

团问题指的是：给定一个图以及目标g，求图中的g个顶点，使得这些顶点间两两都存在相连的边。已知团问题是NP-完全的。

令G表示一个图，令k为一个数字，对于(G,k)，团问题指的是在G中找到一个结点个数为k的团。
从（G,k），构造一个新的图G'，构造过程：对于G中的每个顶点，添加一个由k个结点组成的链（也就是题中所说的“尾巴”）。该构造过程可在多项式时间内完成。
如果G'有一个结点数为2k的风筝，那么G一定有一个结点数为k的团（也就是2k的风筝减去k的“尾巴”）。
构造G'添加节点的过程并不会在G'中引入新的团（因为添加的都是链），因此G和G'含有相同的团。

由此完成从团问题到风筝图问题的规约，团问题是NP-完全的，那么风筝图问题也是NP-完全的。