算法概论第八章课后习题

8.3

题目：

吝啬SAT问题是这样的：给定一组子句（每个子句都是其中文字的析取）和整数k，求一个最多有k个变量为true的满足赋值——如果该赋值存在。证明吝啬SAT是NP-完全问题。

解答：

证明吝啬SAT问题为NP问题。

若已知某个与吝啬SAT问题变量对应的真值集合，可在多项式时间内将该集合带入吝啬SAT问题验证是否为解。故吝啬SAT问题为NP问题。

证明吝啬SAT为NP-完全问题。

SAT -> 吝啬SAT

令SAT问题中变量个数为k即得到吝啬SAT问题，此归约过程需要多项式时间。又因为SAT问题为已知的NP-完全问题，则吝啬SAT问题亦为NP-完全问题。

8.8

题目：

在精确的4SAT（EXACT 4SAT）问题中，输入为一组子句，每个子句都是恰好4个文字的析取，且每个变量最多在每个子句中出现一次。目标是求它的满足赋值——如果该赋值存在。证明精确的4SAT是NP-完全问题。

解答：

证明4SAT问题为NP问题。

若已知与4SAT问题变量对应的某个真值集合，可在多项式时间内将该集合带入4SAT问题验证是否为解。故4SAT问题为NP问题。

证明4SAT问题为NP-完全问题。

3SAT -> 4SAT

对于一个3SAT问题的实例，若存在子句的某变量出现了超过一次，则可将该变量删减到出现一次；若存在子句既出现某变量又出现该变量的非，则可消去该两个文字；最后往子句中新添加变量直至4个文字。此归约过程需要多项式时间。此时可得到4SAT问题。又因为3SAT问题是已知的NP-完全问题。故4SAT问题为NP-完全问题。