BZOJ 2818: Gcd [欧拉函数 质数 线性筛]【学习笔记】
2016-12-19 21:31
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2818: Gcd
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Description
给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对.
1<=N<=10^7
uva上做过gcd(x,y)=1的题
gcd(x,y)=p ---> gcd(x/p,y/p)=1
每个质数做一遍行了
答案是欧拉函数的前缀和*2-质数的个数,因为(p,p)算一组
朴素的两个筛法写下来要5000ms
然后就学了一个新技能:欧拉筛法同时求欧拉函数
我们要证明:
若p是x的约数,则Φ(x*p)=Φ(x)*p.
若p不是x的约数,则Φ(x*p)=Φ(x)*(p-1).
欧拉函数是一个积性函数,且phi(p)=p-1 p is prime
若f(n)为数论函数,且f(1)=1,对于互质的正整数p,q有f(p⋅q)=f(p)⋅f(q),则称其为积性函数。
那么Φ(x*p)=Φ(x)*(p-1)
Φ(p^k)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*p^(k-1)
证明:
令n=p^k,小于n的正整数数共有n-1即(p^k-1)个,其中不与p互质的数共[p^(k-1)-1]个(除以p然后下取整.....)
所以Φ(p^k)=(p^k-1)-(p^(k-1)-1)=p^k-p^(k-1) 得证。//定义
Φ(p^k)=(p-1)*p^(k-1)=(p-1)*p^(k-2)*p
Φ(p^(k-1))=(p-1)*p^(k-2)
所以当k>1时,Φ(p^k)=Φ(p^(k-1))*p
得证
复习欧拉筛法:对于任意一个合数,拆成最小质数*某个数字的形式,每个数字只会被筛选一次
2016的国家队论文里有一个语言描述比较好,复制不下来....
那么我们遇到一个数i,如果是素数phi[i]=i-1
然后在枚举i*p[j]时,phi[i]已经知道了,由以上两个式子就可以算出phi[i*p[j]]的值了
[b]更一般的来说,就是因为线性筛的过程中得到了每个数的最小质因子,利用了积性函数的性质[/b]
[b]【2016-12-22】上述直接观察也可以[/b]
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; typedef long long ll; const int N=1e7+5; int n; bool vis ; int p ,m=0; ll s ,ans,phi ; void sieveprime(){ for(int i=2;i<=n;i++){ if(!vis[i]) p[++m]=i; for(int j=1;j<=m&&i*p[j]<=n;j++){ vis[i*p[j]]=1; if(i%p[j]==0) break; } } } void sievephi(){ phi[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++)if(!phi[i]){ for(int j=i;j<=n;j+=i){ if(!phi[j]) phi[j]=j; phi[j]=phi[j]/i*(i-1); } } for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+phi[i]; } int main(){ scanf("%d",&n); sieveprime(); sievephi(); for(int i=1;i<=m;i++) ans+=s[n/p[i]]; printf("%lld",ans*2-m); }
朴素
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; typedef long long ll; const int N=1e7+5; int n; bool vis ; int p ,m=0; ll s ,ans,phi ; void sieve(){ phi[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++){ if(!vis[i]){ p[++m]=i; phi[i]=i-1; } for(int j=1;j<=m&&i*p[j]<=n;j++){ vis[i*p[j]]=1; if(i%p[j]==0){ phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j]; break; } phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1); } } for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+phi[i]; } int main(){ scanf("%d",&n); sieve(); for(int i=1;i<=m;i++) ans+=s[n/p[i]]; printf("%lld",ans*2-m); }
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