回溯法——八皇后问题【通俗易懂】

回溯法——八皇后问题【通俗易懂】

因为最近在学习算法，所以今天在这里对回溯法中的八皇后问题，进行一下归纳和总结，真的是用不能再通俗的语言去解释了，看不懂请自绝与人民。

一、基本定义

回溯法（back track method）是在包含问题的所有可能解的解空间树中，从根结点出发，按照深度优先的策略进行搜索，对于解空间树的某个结点，若满足约束条件，则进入该子树继续搜索，否则将以该结点为根结点的子树进行剪枝。

二、适用范围

可避免搜索所有的可能解，适用于求解组合数较大的问题。

三、八皇后问题

问题：在8 x 8的棋盘上摆放8个皇后，而且八个皇后中的任意两个是不能处于同一行、同一列、或同一斜线上。

【分析】

在8 x 8的棋盘上面放置8个皇后，而且还要不在不同一行和不在同一列，不在同一斜线上，所以每行肯定是得放一个，但是位置就有好多的可能，只要满足上面的要求即可。

设棋盘是一个8 x 8矩阵，皇后i和皇后j的摆放位置分别为（i，Xi）和（j，Xj），要想这些皇后不在同一条斜线上，则需要这两个坐标点的斜率不等于 1 或 - 1。

也就是满足|Xj —Xi | ≠ |j – i|

这里采用迭代法解决八皇后问题，迭代就是循环代码中参与运算的变量同时是保存结果的变量，当前保存的结果作为下一次循环计算的初始值。

迭代的代表性例子：实数累加

int v=1;

for(i=2;i<=100;i++)

{

v=v+i; //1 ——100的累加

}

【具体步骤】

1、这里的八个皇后用k = 0,1,2,3,4,5,6,7来表示。

2、第一个皇后放在8 x 8矩阵的（0 , 0）位置，也就是k = 0 ，x[k] = 0 ，这里的k表示行和皇后k，x[k]表示列。

3、放完第一个皇后之后，就要放置第二个皇后，因为不能在同一行，所以第二个皇后肯定在第二行放，这个时候到底在哪一列还没有确定。

4、在确定第二个皇后到底在哪一列的时候，就要用到一个判断函数，这个函数主要是确定皇后不在同一列和同一斜线上。

check（int k），检查皇后k是否会发生冲突。
int check(int k){  //查看k皇后是否满足约束条件
for(int i=0;i<k;i++)
if (x[i]==x[k] || abs(x[i]-x[k]) ==abs(i-k))  //满足不在同一条斜线和同一列
return 1;
return 0;
}

5、若发生了冲突【即皇后在同一列或同一斜线上】，就x[k]++，一直找到不发生冲突的位置或越界。

6、在找到皇后的位置之后，要先判断一下是否皇后都找到了合适的位置。

7、若还有剩余的皇后或发生越界，则分情况处理，若是还有剩余的皇后，则k = k+1，摆放下一个皇后，若是发生越界，则说明需要回溯，则x[k] = -1 ,k = k – 1

八皇后问题C++代码：

#include<iostream>
using namespace std;
#include<stdlib.h>
static int *x;  //用x数组来存放解向量
static int sum; //用sum变量来记录有几个解
int check(int k){  //查看k皇后是否满足约束条件
for(int i=0;i<k;i++)
if (x[i]==x[k] || abs(x[i]-x[k]) ==abs(i-k))  //满足不在同一条斜线和同一列
return 1;

return 0;

}
void queen(int n){

int k = 0;            //从 皇后0 开始放
sum = 0;

while(k>=0){
x[k]++;           //摆放第k个皇后（第一次摆放皇后0）
while(x[k]<n && check(k) == 1)     //对皇后k进行检测，直到不发生冲突或x[k]越界

x[k]++;    //检测下一列

if(x[k]<n && k == n-1)
{

for(int i =0;i<n;i++)
cout<<x[i]+1<<" ";
cout<<endl;
sum++;

}
if(x[k]<n && k<n-1)     //若皇后还没有摆放完，就摆放下一个皇后k = k+1

k++;

else                    //否则就是发生了越界，要进行回溯
{

x[k]=-1;
k--;

}

}
if(sum == 0)
cout<<"无解"<<endl;
}
int main(){

int n =8;
x = new int[n+1];
for(int i=0;i<n;i++){
x[i] = -1;
}

queen(n);
cout<<"一共解的个数为 ："<<sum<<endl;
return 0;
}