算法学习-零子数组，最大连续子数组

题目

对于长度为N的数组A，求连续子数组的和最接近0的值。

如：

数组A：1，-2,3,10，-4,7,2，-5

它是所有子数组中，和最接近0的是哪个？

算法流程

申请比A长1的空间sum[-1,0,...,N-1]，sum[i]是A的前i项和。定义sum[-1]=0

显然有：A的i到j项和=sum(j)-sum(i-1)

算法思路：

对sum[-1,0,...,N-1]排序，然后计算sum相邻元素的差的绝对值，最小即为所求

在A中任意取两个前缀子数组的和，求差的最小值。

讨论

计算前n项和数组sum和计算sum相邻元素差的时间复杂度，都是O（N），排序的时间复杂度认为是O（N*logN），因此，总时间复杂度：O（NlogN）。

思考：如果需要返回绝对值最小的子数组本身呢？

代码如下

int MinSubarray(const int* a, int size)
{
int* sum = new int[size + 1];
sum[0] = 0;
int i;
for (i = 0; i < size; i++)
{
sum[i + 1] = sum[i] + a[i];
}
sort(sum, sum + size + 1);
int difference = abs(sum[1] - sum[0]);
int result = difference;
for (i = 1; i < size; i++)
{
difference = abs(sum[i + 1] - sum[i]);
result = min(difference, result);
}
delete[] sum;
return result;
}

下面来看一下最大连续子数组的问题

给定一个数组A[0,...,n-1],求A的连续子数组，使得该子数组的和最大。

例如：数组1，-2,3,10，-4,7,2，-5最大子数组：3,10，-4,7,2

分析

记S[i]为以A[i]结尾的数组中和最大的子数组，则：S[i+1]=max(S[i]+A[i+1],A[i+1])

S[0]=A[0]

遍历i：0<=i<=n-1

动态规划：最优子问题

时间复杂度O（n）

代码如下

int MaxSubarray(const int* a, int size)
{
if (!a || (size <= 0))
return 0;

int sum = a[0];  // 当前子串的和
int result = sum;  // 当前找到的最优解
for (int i = 1; i < size; i++)
{
if (sum > 0)
{
sum += a[i];
}
else
{
sum = a[i];
}
result = max(sum, result);
}
return result;
}

求最大子数组还有一种思路如下：

定义：前缀和sum[i]=a[0]+a[1]+...+a[i]则：a[i,j]=sum[j]-sum[i-1](定义p[-1]=0)，最大子数组=sum(j)-sum(i-1)

算法过程

求i前缀sum[i]:
遍历i：0<=i<=n-1
sum[i]=sum[i-1]+a[i]

计算以a[j]结尾的子数组的最大值
对于某个j：遍历0<=i<=j，求sum[i]的最小值m
sum[j]-m即为a[j]结尾的数组中最大的子数组的值

统计sum[j]-m的最大值，0<=j<=n-1
1,2,3步都是线性的，因此，时间复杂度O（n）。

如果要求子数组本身，只需要记录一下from和to就可以了