标准化,归一化和正则化

0.参考文献

关于使用sklearn进行数据预处理 —— 归一化/标准化/正则化

2017.6.3更新：

数据标准化/归一化normalization

归一化与标准化

1.标准化

用的最多的是 z-score标准化

公式为 (X - mean)/ std

计算时对每个属性(每列)分别进行。

将数据按其属性(一般是按列)减去其均值，并除以其标准差，得到的结果是，对每个属性来说，所有数据都聚集在0附近，方差为1.

实现方式：

1. 使用sklearn.preprocessing.scale()函数，可以直接将给定数据进行标准化。

from sklearn import preprocessing
import numpy as np
X=np.array([[1,-1,2],
[2,0,0],
[0,1,-1]])
X_scaled = preprocessing.scale(X)
>>>X_scaled
array([[0. ...,-1.22...,1.33...],
[ 1.22...,  0.  ..., -0.26...],
[-1.22...,  1.22..., -1.06...]])
处理后的均值和方差:
X_scaled.mean(axis=0)
array([0,0,0])
X_scaled.std(axis=0)
array([1,1,1])

2.

使用sklearn.preprocessing.StandardScaler类，使用该类的好处在于可以保存训练集中的参数（均值、方差）直接使用其对象转换测试集数据。

>>>scaler = preprocessing.StandardScaler().fit(X)
>>>scaler
StandardScaler(copy=True,with_mean=True,with_std=True)
>>>scaler.mean_
>array([1,0,0.33])
>>>scaler.transform(X)
array([[ 0.  ..., -1.22...,  1.33...],
[ 1.22...,  0.  ..., -0.26...],
[-1.22...,  1.22..., -1.06...]])

2. 归一化

将属性缩放到一个指定范围(比如0-1)

另一种常用的方法是将属性缩放到一个指定的最大值和最小值之间，这可以通过

preprocessing.MinMaxScaler

类实现。

使用这种方法的目的包括：

1. 把数变为(0,1)之间的小数，方便数据处理

2. 把有量纲表达式变为无量纲表达式

归一化的好处：

提升模型收敛速度

如下图，x1的取值为0-2000，而x2的取值为1-5，假如只有这两个特征，对其进行优化时，会得到一个窄长的椭圆形，导致在梯度下降时，梯度的方向为垂直等高线的方向而走之字形路线，这样会使迭代很慢，相比之下，右图的迭代就会很快



提升模型的精度

归一化的另一好处是提高精度，这在涉及到一些距离计算的算法时效果显著，比如算法要计算欧氏距离，上图中x2的取值范围比较小，涉及到距离计算时其对结果的影响远比x1带来的小，所以这就会造成精度的损失。所以归一化很有必要，他可以让各个特征对结果做出的贡献相同

1.对于方差非常小的属性可以增强其稳定性

2.维持稀疏矩阵中为0的条目

常见的归一化方法：

min-max标准化(Min-max normalization)

也叫 离差标准化

(x-min)/(max-min)

X_train = np.array( [[1，-1,2],
[2,0,0],
[0,1，-1]])
min_max_scaler = preprocessing.MinMaxScaler()
X_train_minmax = min_max_scaler.fit_transform(X_train)
>>> X_train_minmax
array([[ 0.5       ,  0.        ,  1.        ],
[ 1.        ,  0.5       ,  0.33333333],
[ 0.        ,  1.        ,  0.        ]])
#将相同的缩放应用到测试集数据中
X_test = np.array([[-3, -1, 4]])
X_test_minmax = min_max_scler.transform(X_test)
>>> X_test_minmax
array([[-1.5       ,  0.        ,  1.66666667]])

#缩放因子等属性
>>>min_max_scaler.scale_
array([0.5, 0.5, 0.33])
>>>min_max_scaler.min_
array([0, 0.5, 0.33])

在构造对象时也可以直接指定最大最小值的范围：feature_range=(min, max),此时公式变为：
X_std = (X - X.min(axis=0))/(X.max(axis=0)-X.min(axis=0))
X_scaled= X_std/(max-min)+min

log归一化

max为样本数据最大值，并且所有的数据都要大于等于1，这样才能落到[0,1]范围内。

3.正则化（Normalization）

正则化：将每个样本缩放到单位范数(每个样本的范数为1)，如果后面要使用如二次型（点积）或者其他核函数方法计算两个样本之间的相似性，这个方法会很有用。

Normalization主要思想是对每个样本计算其p-范数，然后对该样本中每个元素除以该范数，这样处理的结果是是的每个处理后样本的p-范数（L1-norm, L2-norm）等于1。

p-范数的计算公式：||x||p=(|x1|^p+|x2|^p+…+|xn|^p)^(1/p)

该方法主要应用在文本分类和聚类中。例如，对于两个TF-IDF向量的I2-norm进行点积，就可以得到这两个向量的余弦相似性。

1.可以使用preprocessing.normalize()函数对指定数据进行转换。

X=  [[ 1., -1.,  2.],
[ 2.,  0.,  0.],
[ 0.,  1., -1.]]
X_normalized = preprocessing.normalize(X, norm='l2')
X_normalized
array([[ 0.40..., -0.40...,  0.81...],
[ 1.  ...,  0.  ...,  0.  ...],
[ 0.  ...,  0.70..., -0.70...]])

怎么算出来的呢？

按行算：
[1,-1,2]的L2范数是(1^2+(-1)^2+2^2)^(1/2)=6^(1/2)=2.45
第一行的每个元素除以L2范数，得到：
[1/2.45, -1/2.45, 2/2.45] = [0.4, -0.4, 0.8..]
第二行和第一行一样，也是算自己的L2范数：(2^2+0^2+0^2)^(1/2)=2,
[ 2/2,  0/2,  0/2]=[1,0,0]……

2.可以使用processing.Normalizer()类实现对训练集合测试集的拟合和转换：

normalizer = preprocessing.Normalizer().fit(X) # fit does nothing
>>>normalizer
Normalizer(copy=True, norm='l2')

>>>normalizer.transform(X)
array([[ 0.40..., -0.40...,  0.81...],
[ 1.  ...,  0.  ...,  0.  ...],
[ 0.  ...,  0.70..., -0.70...]])

>>> normalizer.transform([[-1.,  1., 0.]])
array([[-0.70...,  0.70...,  0.  ...]])