≪统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)≫课堂笔记（十）

一个东西写到10，总会多少有点成就感...只是不知道已经磨掉了多少人的耐心了呢？

此外这节公式密集，大家看着办吧...

-----------笔记开始------------

继续上一讲，先说说EM算法。

MM、EM和GMM

1. MM（混合模型）

(1) 定义：P(x)=∑Kk=1πkPk(x)

，其中πk≥0，∑Kk=1πk=1，构成一个离散分布。同时有Pk(x)≥0，且∫Pk(x)dx=1，1≤k≤K
。

(2) 隐变量

我们有数据(x,G)

，同时依据条件概率分布，有P(x,G)=P(G)P(x|G)。记P(G)=πk，则P(x|G=k)=Pk(x)，其中1≤k≤K
。

则有P(x)=∑GP(x,G)=∑GP(G)P(x|G)=∑Kk=1πkPk(x)

为x的边际分布。

(3) GMM（正态混合模型）

当Pk(x)=12πσ2k√exp(−(x−μk)22σ2k)

，1≤k≤K，我们有P(x)=∑Kk=1πkexp(−(x−μk)22σ2k)，且P(x,G=k)=πkexp(−(x−μk)22σ2k)，1≤k≤K
。

(4) 对数似然函数和最大似然估计

对数似然函数写为l(θ)=∑Ni=1logP(x|θ)=∑Ni=1log∑Ni=1P(xi,G=k|θ)=∑Ni=1log(∑Kk=1P(G=k|θ)P(xk|G=k,θ))

。则我们要求的就是θ∗=argmaxθl(θ)，其中θ={{πk},{μk},{σ2k}}
。

2. EM算法 (expectation maximum，期望最大方法)

(1) 迭代方法： 给定起始值θ(0)

，迭代出θ(1),..,θ(t),...。那么问题就是，如何在已知θ(t)的情况下，求θ(t+1)
？

(2) E1步：求P(G|xi,θ(t))

。函数形式已知，故可以求各种条件概率什么的。所以有：

P(G|xi,θ(t))=P(xi,G=k)P(xi)=πkPk(x)∑Kl=1πlPl(x)≡γ(t)ik

。

E2步：计算L(θ|θ(t))=∑Ni=1∑Kk=1(logP(xi,G=k|θ))P(G=k|xi,θ(t))expectation

，由于函数形式已知，我们可以计算并将∑
移出来，所以换成线性形式。

(3) M步：求θ(t+1)=argmaxθL(θ|θ(t))

，这样就完成了迭代。需要证明的性质是：随着迭代，l
越来越大，且收敛。

(4) 定理：l(θ(t+1))≥l(θ(t))

。

证明：

L(θ|θ(t))===∑i=1N∑k=1KlogP(xi|θ))P(G=k|xi,θ(t))+∑i=1N∑k=1KlogP(G=k|xi,θ(t))P(G=k|xi,θ(t))l(θ)+∑i=1N∑k=1KlogP(G=k|xi,θ(t))P(G=k|xi,θ(t))−∑i=1N∑k=1KlogP(G=k|xi,θ)P(G=k|xi,θ(t))+∑i=1N∑k=1KlogP(G=k|xi,θ)P(G=k|xi,θ(t))l(θ)−∑i=1NHi(θ(t))−∑k=1KKL(θ(t)|θ)

其中Hi(θ(t))=−∑Kk=1logP(G|xi,θ)P(G|xi,θ(t))

，且KL(θ(t)|θ)≡∑Kk=1[logP(G|xi,θ(t))P(G|xi,θ(t))−logP(G|xi,θ)P(G|xi,θ(t))]=∑Kk=1logP(G|xi,θ(t))P(G|xi,θ)−P(G|xi,θ(t))>0
，定义为两分布的KL距离。

所以L(θ(t+1)|θ(t))=l(θ(t+1))−∑Ni=1Hi(θ(t))−∑Kk=1KL(θ(t)|θ(t+1))

，且L(θ(t)|θ(t))=l(θ(t))−∑Ni=1Hi(θ(t))−∑Kk=1KL(θ(t)|θ(t))0。而由M步，L(θ(t+1)|θ(t))−L(θ(t)|θ(t))≥0，故有l(θ(t+1))−l(θ(t))=KL(θ(t)|θ(t+1))≥0
。

在GMM的情况下，应用EM算法，则有：

(1) E1步：γ(t)ik=πk(2πσ2k)−1/2exp(−(xi−μk)2/2σ2)∑Kl=1πlPl(x)

，可以直接计算。

(2) E2步：L(θ|θ(t))=∑Ni=1∑Kk=1γ(t)ik[logπ(t)k−12logπ−12log(σ2k)−(x−μk)22(σ(t)k)2]

。

(3) M步：注意有约束条件∑Kk=1πk=1

，所以使用拉格朗日乘子法：

L(θ)=L(θ|θt)+λ(∑πk−1)

，故有一阶条件：∂L∂πk=∑Ni=1γ(t)ik1π(t)k+λ=0。从而πt+1k=N(t)kN，其中N(t)k=∑Ni=1γ(t)ik
。

还有一阶条件：∂L∂μk=∑Ni=1−2(xi−μ(t)k)(−1)2(σ(t)k)2=0

，得到μ(t+1)k=1Nk∑Ni=1xi
。

最后，∂L∂(σ2k)=0

，有(σt+1k)2=1Nk∑Ni=1(xi−μ(t+1)k)2
。

对GMM而言，E步和M步在k=2的时候，求解过程可参见书上。

第七章：模型评估与选择

1. 概念： 我们有数据集D

，函数族F和损失函数L，这样得到最优的f(x)∈F，然后求得y^=f(x)

（有监督的学习）。之后就是对模型进行评估：y^

的精度如何（使用测试集）？模型的选择就是F
的选择，使得测试误差比较小。

2. 方法：

(1) 数据充分：分成三块，1/2用来训练(train)，1/4用来检验(validation)，1/4用来测试(test)。其中validation

的概念是，在∑Ni=1L(yi,f(xi))+λJ(f)

中，加入J函数来考虑函数族的复杂度，以避免过拟合。而validation就是来调正和选择这里的λ
，再用train和validation重新训练模型。

最后，用test数据集，测试并且评估测试误差。

(2) 数据不充分：一种是cross-validation，分成k（比如5-10）份，极端的就是K=N，ave-win-out；另一种是bootstrap，后续章节详述。