伴随矩阵，可逆矩阵相关思路分析之一

伴随矩阵，可逆矩阵相关思路分析之一

@(线性代数)

定义法–大巧若拙

设矩阵A满足A2+A−4E=0,其中E是单位矩阵，则(A+E)−1=?

分析：这种抽象矩阵的逆矩阵的求法只能用定义式了，但是怎么拆出需要的定义式呢？分享一种绝对适用的解法。如果我说，一眼看出来(A−E)(A+2E)=2E,等同于说素描肖像，第一步起个框架，第二步画几个线条，第三步就画成了。实际上，观察力当然是非常宝贵的能力，但是，这一类总是可以采用基础的除法来解决。

比如，问题123/2 = ?手算肯定是列式子。这是小学打下的功底。这里也可这么计算。

(A2+A−4E)÷(A−E)=(A+2E)...−2E,点点点表示余数

也就是说A2+A−4E=(A+2E)(A−E)−2E=0

再由此推导得出：(A+E)−1=A+2E2

简单问题复杂化–辩证看问题

前面提过，有些问题形式简单到无从下手，需要换个角度让其形式复杂化，这样就能从中找到模式，看到突破口。在线代这里是常常见到的，比如E=AA−1就可以适当引入到表达式中，参与变化，最终得到简单的结果。

举例子。

设A =

⎡⎣⎢⎢⎢⎢1−20003−40005−60007⎤⎦⎥⎥⎥⎥.

E是四阶单位矩阵，且B=(E+A)−1(E−A),求(E+B)−1.

分析：拿到这个问题，要特别压住直接代入求解的冲动。毕竟这个不是抽象矩阵。为什么这么说，因为计算能力好固然是优势，但避免无谓的计算，自然是更加好的思路。

试着用一下简单问题复杂化。

这里用E=(E+A)−1(E+A)

因此，

E+B=(E+A)−1(E+A)+(E+A)−1(E−A)=(E+A)−1(E+A+E−A)=2(E+A)−1E

似乎没什么变化，

再来，

(E+B)(E+A)=2(E+A)−1(E+A)=2E

问题可解：(E+B)−1=E+A2.