hiho一下 第三十九周 #1141 : 二分·归并排序之逆序对 【归并排序----树状数组】

#1141 : 二分·归并排序之逆序对

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描述

在上一回、上上回以及上上上回里我们知道Nettle在玩《艦これ》。经过了一番苦战之后，Nettle又获得了的很多很多的船。

这一天Nettle在检查自己的舰队列表：



我们可以看到，船默认排序是以等级为参数。但实际上一个船的火力值和等级的关系并不大，所以会存在A船比B船等级高，但是A船火力却低于B船这样的情况。比如上图中77级的飞龙改二火力就小于55级的夕立改二。

现在Nettle将按照等级高低的顺序给出所有船的火力值，请你计算出一共有多少对船满足上面提到的这种情况。

提示：火力高才是猛！

输入

第1行：1个整数N。N表示舰船数量, 1≤N≤100,000

第2行：N个整数，第i个数表示等级第i低的船的火力值a[i]，1≤a[i]≤2^31-1。

输出

第1行：一个整数，表示有多少对船满足“A船比B船等级高，但是A船火力低于B船”。

样例输入

10
1559614248 709366232 500801802 128741032 1669935692 1993231896 369000208 381379206 962247088 237855491

样例输出

27

       ×        

提示：火力高才是猛！

拿到这道题目，可以很容易想到两重For循环枚举，复杂度为O(N^2)，对于1000ms的时限来说显然会TLE。

既然是分治专题，这题必然和分治相关咯？

没错。这道题需要用到的是长期被我们忽略的归并排序。

我们来看一个归并排序的过程:

给定的数组为[2, 4, 5, 3, 1]，二分后的数组分别为[2, 4, 5], [1, 3]，假设我们已经完成了子过程，现在进行到该数组的“并”操作：

a: [2, 4, 5]		b: [1, 3]		result:[1]		选取b数组的1
a: [2, 4, 5]		b: [3]		result:[1, 2]		选取a数组的2
a: [4, 5]		b: [3]		result:[1, 2, 3]		选取b数组的3
a: [4, 5]		b: []		result:[1, 2, 3, 4]		选取a数组的4
a: [5]		b: []		result:[1, 2, 3, 4, 5]		选取a数组的5

在执行[2, 4, 5]和[1, 3]合并的时候我们可以发现，当我们将a数组的元素k放入result数组时，result中存在的b数组的元素一定比k小。
在原数组中，b数组中的元素位置一定在k之后，也就是说k和这些元素均构成了逆序对。
那么在放入a数组中的元素时，我们通过计算result中b数组的元素个数，就可以计算出对于k来说，b数组中满足逆序对的个数。
又因为递归的过程中，a数组中和k满足逆序对的数也计算过。则在该次递归结束时，[2, 4, 5, 3, 1]中所有k的逆序对个数也就都统计了。
同理对于a中其他的元素也同样有这样的性质。

由于每一次的归并过程都有着同样的情况，则我们可以很容易推断出：
若将每一次合并过程中得到的逆序对个数都加起来，即可得到原数组中所有逆序对的总数。

即在一次归并排序中计算出了所有逆序对的个数，时间复杂度为O(NlogN)

另外，逆序对的计算还有一种同样O(NlogN)的算法，使用的是树状数组，有兴趣的话可以自行搜索一下资料。

归并排序代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node{
int hao,shu,zz;
}p[120000];
int ss[1200000],s2[1200000];
bool cmp1(node x,node y)
{
return x.shu<y.shu;
}
bool cmp2(node x,node y)
{
return x.hao<y.hao;
}
long long ans;
void SS(int l,int r)
{
if (l==r)
return ;
int m=(l+r)>>1;
SS(l,m);SS(m+1,r);
int a=l,b=m+1;
for (int i=l;i<=r;i++)
{
if (a==m+1)
s2[i]=ss[b++];
else if (b==r+1)
s2[i]=ss[a++];
else if (ss[a]<=ss[b])
{
s2[i]=ss[a++];
}
else
{
ans+=b-i;
s2[i]=ss[b++];
}
}
for (int i=l;i<=r;i++)
ss[i]=s2[i];
return ;
}
int main()
{
int n;scanf("%d",&n);
for (int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&p[i].shu);
p[i].hao=i;
}
sort(p,p+n,cmp1);
p[0].zz=1;
int lp=1;
for (int i=1;i<n;i++)
{
if (p[i].shu!=p[i-1].shu)
lp++;
p[i].zz=lp;
}
sort(p,p+n,cmp2);
ans=0;
for (int i=0;i<n;i++)
ss[i]=p[i].zz;
SS(0,n-1);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}


树状数组代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node{
int hao,shu,zz;
}p[120000];
bool cmp1(node x,node y)
{
return x.shu<y.shu;
}
bool cmp2(node x,node y)
{
return x.hao>y.hao;
}
int lp,SHU[120000];
void add(int x)
{
for (;x<=lp;x+=(-x&x))
SHU[x]++;
}
int query(int x)
{
int ans=0;
for (;x>0;x-=(-x&x))
ans+=SHU[x];
return ans;
}
int main()
{
int n;scanf("%d",&n);
for (int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&p[i].shu);
p[i].hao=i;
}
sort(p,p+n,cmp1);
p[0].zz=1;
lp=1;
for (int i=1;i<n;i++)
{
if (p[i].shu!=p[i-1].shu)
lp++;
p[i].zz=lp;
}
for (int i=0;i<=lp;i++)
SHU[i]=0;
sort(p,p+n,cmp2);
long long ans=0;
for (int i=0;i<n;i++)
{
ans+=query(p[i].zz-1);
add(p[i].zz);
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}