[HackerRank University CodeSprint]Unique Divide And Conquer

题目大意

一个n个节点的树。在点分治算法中，我们每次寻找树的重心（其作为根各棵子树大小小于等于⌊n2⌋），然后删掉这个点，对各棵子树继续剖分。

当然，在某些情况下，我们在分治的过程中会遇到存在两个重心的情况。

现在我们要求对于所有n个节点的树，只有一种点剖方案（点剖过程中不会出现两个重心）的树的个数。

节点是有编号的。两种方案不同当且仅当存在边(u,v)在一种中有而另一种没有。

答案对m取模。

1≤n≤3000,n<m≤109,m∈P

题目分析

首先要弄明白点剖方案合法意味着什么？易证对于点x，其实重心且不存在另一个重心当且仅当∀y∈son(x),2size(y)<n。

一种很显然的思考方向：我们一开始有若干棵满足约束的树，然后我们现在新加入一个点作为重心，将这些树都连接上来，并且我希望现在的树继续合法。

令fi表示i个节点的合法树个数，gi表示i个节点的合法有根森林个数。

首先fi可以是i−1个点的有根森林的根全部连到一个重心上，但是这样可能会导致不合法，因为我没有保证这个点所有子树两倍大小小于n。但是我们可以减去不合法情况。直接枚举这个不合法的子树的大小，减去其方案乘上这棵树的根的方案数以及除了这棵树的有根森林的方案数，还有将i−1个标号分配给这棵子树的方案。同时，我们得到的新树的重心还有i种取值方案。因此：

fi=i⎛⎝⎜gi−1−∑j=⌈n2⌉i−1j×fj×gi−1−j×(i−1j)⎞⎠⎟

至于gi，为了不算重，我们枚举编号最小的节点所在树的大小，用其方案数乘上我们在其中选一个作为根的方案，然后再乘上剩余部分的有根森林方案，以及将i−1个节点（最小节点一定在枚举的树中，不需要考虑）放入这棵树的方案。即：

gi=∑j=1ifj×j×gi−j×(i−1j−1)

fn就是答案，O(n2)计算即可。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N=3005;

int f
,g
;
int C

;
int n,m;

void pre()
{
C[0][0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
C[i][0]=1;
for (int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%m;
}
}

void dp()
{
g[0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
f[i]=g[i-1];
for (int j=i-1;j*2>=i;j--) (((f[i]-=1ll*j*f[j]%m*g[i-1-j]%m*C[i-1][j]%m)%=m)+=m)%=m;
f[i]=1ll*f[i]*i%m;
for (int j=1;j<=i;j++) (g[i]+=1ll*f[j]*j%m*g[i-j]%m*C[i-1][j-1]%m)%=m;
}
}

int main()
{
freopen("div.in","r",stdin),freopen("div.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
pre(),dp();
printf("%d\n",f
);
fclose(stdin),fclose(stdout);
return 0;
}