[JZOJ4918]最近公共祖先

题目大意

给定一棵n个节点的有根树，节点编号1到n，根节点为1号点。每个节点要么是黑色要么是白色，并且有权值wi，初始时所有节点都是白色的。现在总共有m个操作，分以下两种：

∙将节点v的颜色修改为黑色

∙给定v，要求找到一个黑色节点u，最大化wlca(u,v)。如果此时树上不存在黑色节点，输出−1。

1≤n≤105,1≤m≤2×105

题目分析

我们可以将每个点的贡献分开来考虑。

显然点x只会对其子树内的节点造成贡献。假设我们要修改点x为黑色节点，那么我们首先要将x的子树内所有点答案都与wx取max，因为它们都可以与x组合。然后我们还要从x的父亲开始依次枚举x的祖先f，显然f的整棵子树除去x所在那棵儿子的子树的所有点都可以与x组合，得到答案wf，那么我们将wf与这些点的答案取max。

但是我们是否真的要枚举x的所有祖先呢？其实不然，可以发现，如果祖先f之前已经被更新过一次，那么其到根路径上所有点在这次更新将会执行的操作其实和之前执行那一次是一样的，我们不必重复，直接退出即可。

这样一个点最多只会被修改两次。至于每个点的答案值使用线段树+DFS序维护max标记即可。

时间复杂度O(nlogn+mlogn)。

代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>

using namespace std;

int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)) f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
while (isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}

int buf[30];

void write(int x)
{
if (x<0) putchar('-'),x=-x;
for (;x;x/=10) buf[++buf[0]]=x%10;
if (!buf[0]) buf[++buf[0]]=0;
for (;buf[0];buf[0]--) putchar('0'+buf[buf[0]]);
}

const int N=100050;
const int E=N<<1;

int fa
,w
,last
,DFN
,size
;
bool black
,vis
;
int tov[E],nxt[E];
int n,m,tot,idx;

struct segment_tree
{
int v[N<<2];

void clear(int x,int l,int r){if (l!=r) v[x<<1]=max(v[x<<1],v[x]),v[x<<1|1]=max(v[x<<1|1],v[x]);}

int query(int x,int y,int l,int r)
{
clear(x,l,r);
if (l==r) return v[x];
int mid=l+r>>1;
if (y<=mid) return query(x<<1,y,l,mid);
else return query(x<<1|1,y,mid+1,r);
}

void modify(int x,int st,int en,int l,int r,int delta)
{
if (st>en) return;
clear(x,l,r);
if (st==l&&en==r)
{
v[x]=max(v[x],delta);
return;
}
int mid=l+r>>1;
if (en<=mid) modify(x<<1,st,en,l,mid,delta);
else if (mid+1<=st) modify(x<<1|1,st,en,mid+1,r,delta);
else modify(x<<1,st,mid,l,mid,delta),modify(x<<1|1,mid+1,en,mid+1,r,delta);
}

void build(int x,int l,int r)
{
v[x]=-1;
if (l==r) return;
int mid=l+r>>1;
build(x<<1,l,mid),build(x<<1|1,mid+1,r);
}
}t;

void insert(int x,int y){tov[++tot]=y,nxt[tot]=last[x],last[x]=tot;}

void dfs(int x)
{
DFN[x]=++idx,size[x]=1;
for (int i=last[x],y;i;i=nxt[i])
if ((y=tov[i])!=fa[x]) fa[y]=x,dfs(y),size[x]+=size[y];
}

int ask(int x){return t.query(1,DFN[x],1,n);}

void change(int x)
{
if (black[x]) return;
t.modify(1,DFN[x],DFN[x]+size[x]-1,1,n,w[x]);
for (black[x]=1;x;vis[x]=1,x=fa[x])
{
if (fa[x]) t.modify(1,DFN[fa[x]],DFN[x]-1,1,n,w[fa[x]]),t.modify(1,DFN[x]+size[x],DFN[fa[x]]+size[fa[x]]-1,1,n,w[fa[x]]);
if (vis[x]) break;
}
}

int main()
{
freopen("lca.in","r",stdin),freopen("lca.out","w",stdout);
n=read(),m=read();
for (int i=1;i<=n;i++) w[i]=read();
for (int i=1,x,y;i<n;i++) x=read(),y=read(),insert(x,y),insert(y,x);
fa[1]=0,dfs(1);
t.build(1,1,n);
for (int i=1,x;i<=m;i++)
{
char opt=getchar();
while (!isalpha(opt)) opt=getchar();
x=read();
if (opt=='Q') write(ask(x)),putchar('\n');
else change(x);
}
fclose(stdin),fclose(stdout);
return 0;
}