【NOIP2016提高A组集训第14场11.12】最近公共祖先

Description

YJC最近在学习树的有关知识。今天，他遇到了这么一个概念：最近公共祖先。对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。YJC很聪明，他很快就学会了如何求最近公共祖先。他现在想寻找最近公共祖先有什么性质，于是他提出了这样的一个问题：n层的满k叉树T，求对于每一对(i,j)(1≤i,j≤T的点数)，LCA(T,i,j)的深度的和是多少。这个数字n层的满k叉树指一棵带标号的有根树，深度为i(0≤i

Solution

这道题一看到就开始推O(n)怎么做。

考虑点对的lca贡献为i的点对数=ki∗(size[n−i+1]2−k∗size[n−i]2)，因为这层一共有ki个节点，然后单个节点的里面所有节点先两两匹配，然后还要减去他们k个儿子额两两匹配。

然后答案=∑n−1i=0i∗ki∗(size[n−i+1]2−k∗size[n−i]2)

因为size是节点个数，可以用等比数列来求出来：size[i]=1+k+k2+......+ki=ki+1−1k−1

那么带入上面的式子就可以变成∑n−1i=0i∗(k2n−i+1−ki)k−1

然后答案=1k−1∗(∑n−1i=0i∗k2n−i+1−∑n−1i=0i∗ki)

=1k−1∗(k2n+1∗∑n−1i=0i∑n−1i=0i∗ki−∑n−1i=0i∗ki)

现在我们的主要问题就是∑n−1i=0i∗ki=??????

我们的目的只是要把i和ki分离出来。

那么考虑给每个ki都补上一个系数n，那么上式就变成n∗∑n−1i=0ki−∑ni=1∑i−1j=0kj

那么把这个代入上式，那么答案就变成：

1k−1∗(k2n+1∗(n−1)∗nn∗∑n−1i=0ki−∑ni=1∑i−1j=0kj−n∗∑n−1i=0ki+∑ni=1∑i−1j=0kj

然后再把等比数列求和套进去：

答案就可以化简成：

k2n−k−(2n−1)kn(k−1)(k−1)3

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1000007,mo=998244353;
ll i,j,k,l,t,n,m,ans,yi,er;
ll ci[maxn],size[maxn];
ll qsm(ll x,ll y){
ll z=1;
for(;y;y/=2,x=x*x%mo)if(y&1)z=z*x%mo;
return z;
}
int main(){
freopen("lca.in","r",stdin);
freopen("lca.out","w",stdout);
scanf("%lld%lld",&n,&k);
ans=(qsm(k,2*n)-k-(2*n-1)*qsm(k,n)%mo*(k-1)%mo)%mo;
ans=(ans+mo)%mo;
t=qsm(k-1,3);
ans=ans*qsm(t,mo-2)%mo;
printf("%lld\n",ans);
}