Tyvj 1363 火车进出栈问题 （高精度+卡特兰数+组合数学）

P1363 火车进出栈问题

时间: 1000ms / 空间: 131072KiB / Java类名: Main

描述

一列火车n节车厢，依次编号为1,2,3,…,n。每节车厢有两种运动方式，进栈与出栈，问n节车厢出栈的可能排列方式有多少种。

输入格式

一个数，n(n<=30000)

输出格式

一个数s表示n节车厢出栈的可能排列方式

测试样例

输入

3

输出

5

很容易看出来是卡特兰数（别问我怎么看出来的！自己划数据！），但是数据很大（卡特兰数的一二十位就接近maxlongint了），所以我们用卡特兰数的一个通项公式来求：

f
=C(2n,n)/(n+1)

这样我们只需要求组合数C(2n,n)就可以啦！

program mys;
var i,j,k,m,n,x,l:longint;
f:array[0..100000]of longint;
d:array[0..100000]of longint;

begin
readln(n);

for i:=n+2 to 2*n do
begin
x:=i;
for j:=2 to trunc(sqrt(i)) do
while x mod j=0 do
begin
x:=x div j;
inc(d[j]);
end;
if x<>1 then inc(d[x]);
end;
for i:=2 to n do
begin
x:=i;
for j:=2 to trunc(sqrt(i)) do
while x mod j=0 do
begin
x:=x div j;
dec(d[j]);
end;
if x<>1 then dec(d[x]);
end;
//至此，筛出C(2n,n)/n-1的所有质因子，d[i]记录质因子出现次数

f[1]:=1; l:=1;   //高精度求C(2n,n)/(n+1)
for i:=2 to n*2 do
while d[i]>0 do
begin
dec(d[i]);
x:=0;
for j:=1 to l do
begin
f[j]:=f[j]*i+x;
x:=f[j] div 10;
f[j]:=f[j] mod 10;
end;
while x>0 do
begin
inc(l);
f[l]:=x mod 10;
x:=x div 10;
end;
end;
for i:=l downto 1 do
write(f[i]);
end.