洛谷1967 火车运输 kruskal求最大生成树 倍增LCA维护最小值

传送门

其实NOIP某些年的第三题也并不是很难嘛。。。

题目分析：

题目中要求求出某两点之间可以运输的最大重量，也就是这两个点的某条路径上边权最小的边的权值的最大值

很显然，题目中的运输最大重量与选择的边数，走法，无关边的权值均无关，可以求出这张图的最大生成树，在树上进行询问，与图中询问结果相同

由于该图不保证连通性，所以实际形成的是一个最大生成森林，那么对于每个询问，直接用并查集判断是否存在，对于存在的询问，考虑优化查询的时间

既然已经把图压缩成了森林，那么就可以使用一些树特有的性质了，，对于树上两个点，求他们之间的边的最小值，，，可以考虑使用倍增了，维护jump数组的基础上，维护low数组，使用low[x][0]表示以x的父亲边的权值，low[x][i]表示x到x的2i代父亲的权值最小值，那么题目中的查询就可以转化为两个点到他们LCA的路径上的最小值，每次倍增寻找结果输出即可

题解：

对原图进行kruskal求最大生成树，在其过程中用邻接表把选择的边建好

dfs求出倍增中的dis数组，jump[x][0]，low[x][0]

枚举i，j更新jump数组和low数组，jump[x][j]=jump[jump[x][j−1]][j−1] low[x][i]=min(low[x][i−1],low[jump[x][i−1]][i−1])

常规倍增求LCA，设ans初始值为INF，每次与当前的low值取min，输出ans即为结果

Warning：

倍增LCA的j为外层循环！！！

倍增LCA的j为外层循环！！！

倍增LCA的j为外层循环！！！

倍增LCA的j为外层循环！！！

倍增LCA的j为外层循环！！！

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
//#define debug
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 20000;
const int maxm = 100000 + 500;
struct edge{
int from;
int to;
int val;
};
edge p[maxm];
int n, m;
int father[maxn];
int last[maxn], pre[maxm], other[maxm], len[maxm];
int jump[maxn][25];
int dis[maxn];
int low[maxn][25];
int tot = 0;
int x, y;
void add(int x, int y, int z) {
tot++;
pre[tot] = last[x];
last[x] = tot;
other[tot] = y;
len[tot] = z;
}
int getfather(int x) {
if (father[x] == x) return (x);
return (father[x] = getfather(father[x]));
}

bool cmp(edge aa, edge bb) {
return (aa.val > bb.val);
}

void dfs(int x, int come, int comep) {
jump[x][0] = come;
low[x][0] = comep;
dis[x] = dis[come] + 1;
for (int p = last[x]; p; p = pre[p]) {
int q = other[p];
if (q == come) continue;
dfs(q, x, len[p]);
}
}

int main () {
//freopen("truck.in", "r", stdin);
//freopen("truck.out", "w", stdout);
scanf("%d %d", &n, &m);
memset(low, 127, sizeof(low));
for (int i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d %d %d", &p[i].from, &p[i].to, &p[i].val);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) father[i] = i;
std :: sort(p + 1, p + m + 1, cmp);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int tx = getfather(p[i].from);
int ty = getfather(p[i].to);
if (tx == ty) continue;
father[tx] = ty;
add(p[i].from, p[i].to, p[i].val);
add(p[i].to, p[i].from, p[i].val);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (dis[i] == 0) {
dfs(i, 0, inf);
}
}
for (int j = 1; j <= 20; j++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
jump[i][j] = jump[jump[i][j-1]][j-1];
low[i][j] = std :: min(low[i][j-1], low[jump[i][j-1]][j-1]);
}
}
#ifdef debug
for (int i = 1; i <= n; i++) {
printf("low[%d] = %d\n", i, low[i][0]);
}
//exit(0);
#endif
int q;
scanf("%d", &q);
while (q--) {
scanf("%d %d", &x, &y);
int tx = getfather(x);
int ty = getfather(y);
if (tx != ty) {
printf("-1\n");
continue;
}
int ans = inf;
if (dis[x] != dis[y]) {
if (dis[x] < dis[y]) std :: swap(x, y);
for (int j = 20; j >= 0; j--) {
if (dis[jump[x][j]] > dis[y]) {
ans = std :: min(ans, low[x][j]);
x = jump[x][j];
}
}
ans = std :: min(ans, low[x][0]);
x = jump[x][0];
}
for (int j = 20; j >= 0; j--) {
if (jump[x][j] != jump[y][j]) {
ans = std :: min(ans, low[x][j]);
ans = std :: min(ans, low[y][j]);
x = jump[x][j];
y = jump[y][j];
}
}
if (x != y) {
ans = std :: min(low[x][0], ans);
ans = std :: min(low[y][0], ans);
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}